[obm-l] Dúvida ( área mínima )

> precisa ter um limite.
> Basta que o limite de |b_n| seja 1.
> Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
> Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
> como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2.
> Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > raiz(1
> - |a|^2).
> Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2).
> Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
> norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior
> corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
> inferior a a.
>
> De qualquer forma, T eh isometria ==>
> T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==>
> T eh uniformemente continua ==>
> T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
> uniformemente continua em fecho(B).
> Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
> Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
>
> []s,
> Claudio.
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>
>> >
>>
>> Ola Claudio.
>> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
>> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
>> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
>> ainda esta em B.
>>
>> Abs.
>>
>> Rivaldo.
>>
>>
>> Tem razao. Mancada minha...
>> >
>> > O problema eh provar que:
>> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
>> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>> >
>> > Aqui vai uma nova tentativa:
>> >
>> > Seja T(0) = a.
>> > Seja b um ponto qualquer de B.
>> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
>> > Eh claro que b tambem pertence a B.
>> > Entao:
>> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
>> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
>> > Alem disso,
>> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
>> > igualdade na desigualdade triangular,
>> > que associada a (*) e (**) implica que:
>> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>> >
>> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
>> > Nesse caso:
>> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
>> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
>> em B.
>> >
>> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
>> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
>> comprimento
>> > 2 eh a origem.
>> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
>> ser o
>> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
>> > Conclusao: a = 0.
>> >
>> > Acho que agora foi...
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >
>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Cópia:
>> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
>> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>> >
>> >> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >> >
>> >> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >> > Cópia:
>> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>> >> > Assunto: [obm-l] Isometria
>> >> >
>> >> >> >Ola Claudio.
>> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
>> precisariamos
>> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
>> >> -b
>> >> nao colineares nao garante esse fato.
>> >>
>> >> Abs.
>> >> >>
>> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
>> >> >> Provar que T(0)=0.
>> >> >>
>> >> >
>> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
>> >> relacao
>> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>> >> >
>> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
>> >> estrita:
>> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>> >> > 2|b| =
>> >> > |2b| =
>> >> > |b - (-b)| =
>> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>> >> >
>> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>> >> >
>> >> > []s,
>> >> > Claudio.
>> >> >
>> >> >
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>> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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