Re: [obm-l] Problema de Desigualdade

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá,

se x > 1/sqrt(3), y > 1/sqrt(3), z > 1/sqrt(3) ...
xy > 1/3 ... xz > 1/3 ... yz > 1/3 .... xy + xz + yz > 1 ... opz! absurdo!
entao, pelo menos 1 tem que ser menor ou igual a 1/sqrt(3)...

se x < 1/sqrt(3), y < 1/sqrt(3), z < 1/sqrt(3)...
xy < 1/3 .. xz < 1/3 ... yz < 1/3 ... xy + xz + yz < 1 ... opz! absurdo!
entao, pelo menos 1 tem que ser maior ou igual a 1/sqrt(3)...

sem perda de generalidade, vamos supor que x <= 1/sqrt(3) e z >= 1/sqrt(3)
e y pode assumir qualquer valor...
mas.. y(x+z) = 1 - xz .... y = (1-xz)/(x+z) ... como y>0, temos: 1-xz
> 0... xz < 1

sabemos que:
x > 0 e z >= 1/sqrt(3) ... logo xz > 0 e x+z > 1/sqrt(3)
logo: y = (1-xz)/(x+z) < (1-xz)*sqrt(3) < sqrt(3)

por enquanto, temos: x <= 1/sqrt(3) ...y < sqrt(3) ... z >= 1/sqrt(3)

legal.. achei algumas restricoes.. talvez isso ajude..

vamos analisar esta expressao:
- 2x(1-x^2)/(1+x^2)^2 + x(1+x^2)/(1+x^2)^2 = -(2x - 2x^3 - x -
x^3)/(1+x^2)^2 = -(-3x^3 + x)/(1+x^2)^2 = x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2

assim, o que é pedido é equivalente a provar que:
x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 + y(3y^2 - 1)/(1+y^2)^2 + z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 >= 0

como x <= 1/sqrt(3) ... x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 <= 0
como z >= 1/sqrt(3) ... z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 >= 0
pra y, pode ser negativo ou positivo... hehe

bom.. nao cheguei em lugar nenhum
estou enviando pra ver se ajuda alguem..
vou tentar outra solucao.. realmente, nao gostei do q fiz! hehe

abracos,
Salhab



On 5/5/07, Lucas Daniel <lucasdgf@yahoo.com.br> wrote:
> Olá.
>
> Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática
> para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não
> consegui resolver. Seria possível me passar a resolução?
>
> Obrigado,
>
> Lucas.
>
>
> O problema é o seguinte:
>
>
> Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que:
> 2x (1 - x²) +  2y (1 - y²) + 2z (1 - z²)  <     x    +     y    +    z
>   (1+x²)²          (1+y²)²         (1+z²)²         1+x²     1+y²      1+z²
>
>
>
>
>
> Obrigado!
>
>
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