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oi
Ficou bem longo e o ralonso provou de um jeito
bem mais curto mas fica como uma outra solução.
Veja que quando o binomio (raiz(2)-1)^n for
desenvolvido, para qualquer n, depois de somar os termos
teremos um numero inteiro multiplicando raiz(2) e
outro somado a isso. Digamos que para n=k
(raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b com a e b inteiros.
Se fizermos m = b^2 ou m = b^2 + 1 sempre teremos
raiz(m) ou raiz(m-1) um inteiro igual a b e m será
inteiro. Logo devemos provar que escolhendo um desses valores
para
m sempre teremos a outra raiz (raiz(m) ou
raiz(m-1), ou seja, a que não for igual a b) igual a a*raiz(2) e,
nesse caso provamos que para todo n, m pode assumir
valor inteiro. Vou tentar provar isso por
indução:
Seja n=1. Para esse n temos b = -1 então
m deve ser igual a (-1)^2 + 1 = 2 ou (-1)^2 = 1.
Resovendo achamos m
= 2 então provamos para n=1.
Seja n=k. Então (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b.
Vamos assumir por hipótese que seja verdade que
fazendo m = b^2 ou m = b^2 + 1
temos a outra raiz igual a a*raiz(2). Nesse caso,
se m=b^2, raiz(m) = raiz(b^2) = b e raiz(m-1) = raiz(b^2 - 1) que supomos ser
igual a
a*raiz(2). Da mesma forma se m=b^2 + 1, raiz(m-1) =
raiz(b^2+1-1) = b e raiz(m) = raiz (b^2 + 1) que supomos ser igual a
a*raiz(2).
Logo: (b^2 + 1) = a*raiz(2) ou
(b^2 - 1) = a*raiz(2).
Seja n=k+1. Chamando os coeficientes de c
e d temos: (raiz(2)-1)^(k+1) = (raiz(2)-1)*(a*raiz(2) + b) = raiz(2)*(b-a)
+ 2a - b
Fazemos c = b -a e d = 2a - b. Devemos
provar que se m = d^2 ou m = d^2 + 1 a outra raiz (que não for
igual a d)
deve ser c*raiz(2). Vamos testar primeiro com m
= d^2. Temos que mostrar que raiz(m-1) = raiz(d^2 -1) = c*raiz(2)
==>
(raiz(d^2-1))^2 = 2c^2 ==> (2a -b)^2 - 1 =
2(b-a)^2 ==> 4a^2 - 4ab + b^2 - 1 = 2b^2 - 4ab + 2a^2 ==> 2a^2 =
b^2 + 1
Mas tomamos por hipótese
que raiz (b^2 + 1)
= a*raiz(2) ==> b^2 + 1 = 2a^2. Portanto provamos para
m=d^2.
Agora é só repetir para n = d^2 + 1 pra completar a
demonstração.
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