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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 26 Apr 2007 10:34:08 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números
Olá Claudio!

Estou com algumas dúvidas na sua resolução.

> On 4/25/07, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br > wrote:
> O enunciado implica que:
> N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
> N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
> N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)
>
N == 56 (mod 9) está errado né, seria apenas N == 2 (mod 9), pois um número natural (mod 9) resulta em um natural entre 0 e 8.

N == 56 (mod 9) significa que 9 divide (N - 56).

> Ou seja:
> N == 6 (mod 25)
> N == 0 (mod 8)
> N == 0 (mod 7)
>
Nessas passagens você considera as seguintes igualdades:

A = B.q1 + r1
B = C.D
A = C.q2 + r2
r1 = C.q3 + r3
r2 = r3 (???)

Onde A = N, B = 100, r1 = 56, C = 25, D = 4, r2 = r3 = 6

Gostaria de saber como pode ser demonstrado que o resto da divisão do resto da divisão de N por 100, que é 56, por 25 é igual ao resto da divisão de N por 25.
 
N == 56 (mod 100) ==>
100 divide (N - 56) ==>
25 divide (N - 56)   e   4 divide (N - 56).
> n == 6 (mod 25) ==>
> N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>
>
Por que a = 2 (mod 9) ??? 
 
6 + 25*a == 2 (mod 9) ==>
9 divide (6 + 25*a - 2) ==>
9 divide (4 + 27*a - 2a) ==>
9 divide (4 - 2a) = 2*(2 - a) ==>
9 divide (2 - a), pois 9 é ímpar e, portanto, primo com 2 ==>
a == 2 (mod 9)
> a == 2 (mod 9) ==>
> a = 2 + 9*b ==>
> N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>
> b == 0 (mod 8) ==>
> b = 8c ==>
> N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>
> c == 0 (mod 7) ==>
> c = 7d ==>
> N = 56 + 12600*d
>  
> Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.
>  
> Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 126).
>  
> Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45.
> O N correspondente é 1.119.988.856.
> Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado.
>  
> Por enquanto, estou sem idéias.
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>  
>  

--
Henrique