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Re: [obm-l] AGUA E CACHACA
Ola' Wilner, Jorge e colegas da lista,
segundo a opiniao de alguns, a solucao deste problema e' um porre...
Mas como "prometido e' devido" , vamos ao trabalho :-)
Quando, no barril de cachaca (com 1L de mistura) ha' um volume "V" de cachaca ( e obviamente "1-V" de agua) , a concentracao de cachaca vale V/1, ou seja, V.
Assim, ao adicionarmos um volume "A" de agua 'a mistura do barril, a concentracao da cachaca no barril passa a valer V/(1+A) .
Dessa forma, ao retirarmos o volume "A" de mistura do barril, estaremos trazendo a quantidade A*V/(1+A) de cachaca , e deixando a concentracao no barril igual aos V/(1+A) , calculados anteriormente.
Repetindo o processo, com um volume "B" de agua, a nova concentracao do barril sera' [V/(1+A)] / (1+B) , ou seja, V/[(1+A)*(1+B)]
Supondo que A+B=K (constante) , temos que
(1+A)*(1+B) = (1+A)*(1+K-A) = -A*A + A*K + 1+K
que e' um polinomio do 2o grau em "A" , com maximo em
A=K/2.
Assim, o maximo da cachaca retirada nesses 2 passos e' atingido quando A=B, pois maximizar o total de cachaca retirada, significa minimizar a concentracao de cachaca no barril.
E o minimo de cachaca retirada e' obtido quando A (ou B) for igual a zero, o que significa utilizar a agua disponivel de uma so' vez.
Podemos entao tirar as seguintes conclusoes:
1- Qualquer operacao com um volume "X" de agua podera' ser sempre substituida por 2 operacoes com volumes "X/2" , obtendo um rendimento melhor.
2- Dois passos contiguos devem envolver o mesmo volume, caso contrario poderiam ser refeitos com melhor rendimento.
Concluimos portanto que a melhor politica e' utilizarmos porcoes iguais e infinitesimais.
Reescrevendo essa politica em termos matematicos...
Sejam:
X o volume de agua a ser colocada no barril
V o volume da cachaca no barril
Assim,
"dx" o volume de agua pura colocada no
barril, em cada passo
"-dV" o volume de cachaca obtida (ou retirada do barril) em cada passo isto e',
-dV = V*dx
ou seja, dV/V = -dx , que nos leva a X0-X1=ln(V0/V1) , ou V0=V1*e
Como V0=1, entao V1=1/e
Assim, o maximo que conseguiremos retirar do barril e'
(1-1/e)L de cachaca.
[]s,
Rogerio Ponce.
Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> escreveu: Se a pipeta for ideal, i.e. puder colocar volumes infinitesimais de água e retirar o mesmo volume da mistura, "pingando-o" no balde inicialmente vazio, pode-se obter (1 - 1/e) L . Um bom exemplo para as AAAs, pois o "cachaceiro" vai ter que penar um bocado...
Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@yahoo.com.br> escreveu: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis escreveu: ...Fiquei também curioso para descobrir o
máximo de cachaça que conseguirei retirar do barril sabendo que cachaça e
água misturam-se imediatamente, e de forma homogênea.
Ola' pessoal,
esse foi o problema ao qual o Jorge se referiu:
(na ausencia de solucoes, enviarei uma na terca-feira)
Na fazenda de um tio, descobri um barril de cachaca pura, quase vazio (com apenas 1L de cachaca) e preso ao chao.
O barril e' dotado de uma microtela horizontal ao nivel de 1L, que impede que se retire liquido abaixo da mesma, isto é, este barril nunca tem menos que 1L de liquido.
Disponho de uma pipeta e 2 baldes ( 2L cada um) , um deles vazio, e o outro com 1L de agua pura, e pretendo retirar cachaca
do barril atraves de acrescimos e retiradas de liquido, de forma a ter, ao final do processo, 1L de mistura de cachaca e agua em um de meus baldes.
Sabendo que cachaca e agua misturam-se imediatamente, e de forma homogenea, qual o maximo de cachaca que conseguirei retirar do barril?
OBS:
A questao aqui e' descobrir qual a politica que maximiza o total de cachaca retirada, para entao calcular este total.
Reparem que se adicionarmos 1L de agua de uma so' vez, tiraremos 1L de mistura, contendo 1/2 litro de cachaca.
Se adotarmos outra politica, adicionando inicialmente 1/2 L de agua, poderemos retirar 1/2 L de mistura, contendo 1/3L de cachaca.
Adicionando o 1/2L da agua restante, tiraremos mais 1/2L de mistura, contendo 2/9L de cachaca, e totalizando 5/9L de cachaca retirada.
Qual a solucao
otima?
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