| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 12 Apr 2007
04:27:37 -0300 (BRT) |
| Assunto: |
[obm-l] Imers�o
isometrica |
>
> > Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?
>
> " Seja M um espa�o metrico com a seguinte propriedade: Para toda
imers�o
> isometrica f: M-----N temos que f(M)� um aberto em N, provar que M �
o
> conjunto vazio"
>
> Abs.
>
Ou seja, temos que provar que se M <> vazio, ent�o existe um espa�o
m�trico N e uma imers�o isom�trica f:M -> N tal que f(M) n�o � aberto em
N.
Por exemplo, sejam:
N = MxR (R = conjunto dos reais), com a m�trica:
d_N((m1,x1),(m2,x2)) = d_M(m1,m1)+|x1-x2|;
e
f:M -> N dada por f(m) = (m,0).
f � claramente uma imers�o isom�trica e f(M) = Mx{0}.
Como M <> vazio, existe m em M e f(m) = (m,0).
Qualquer que seja r > 0, a bola B((m,0),r) cont�m o ponto (m,r/2), o
qual pertence a N - f(M). Logo, (m,0) n�o � interior a f(M) e, portanto, f(M)
n�o � aberto.
[]s,
Claudio.