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Sent: Wednesday, April 04, 2007 10:24 AM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Análise
Bom dia Andre
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de analise.
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1) (z1, z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0 e cujas componentes sao os coeficientes do polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P = Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes, incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e, portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1, oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao {R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e, portanto, A - sao enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto, nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais" transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ tais que x < 1, x < (2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y) > 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a < x< b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.
Aguardo sugestões!
Abraços!
André RC
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