----- Original Message -----
Sent: Wednesday, April 04, 2007 10:24
AM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l]
Análise
Bom
dia Andre
Vou
ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de
analise.
(2)
- Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada
inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o
conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A
cada elemento de P_n corresponde um e somente corresponde um
vetor de Z^(n+1) (z1, z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0
e cujas componentes sao os coeficientes do polinomio a partir do
coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de Z^(n+1) com a
primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento de P_n,
Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel Z^(n+1), do
que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e
que P = Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel
de conjuntos enumeraveis, o que implica que seja
enumeravel.
Seja
A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima
definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas
raizes, incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de
algum P_i e, portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em
Uniao (i=1, oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e
a colecao {R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e,
portanto, A - sao enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que
isto implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos
que R nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta
equacao de conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e,
portanto, nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais"
transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem
cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos
racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de André Rodrigues da
Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007
19:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l]
Análise
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres
problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em
R+ tais que x < 1, x < (2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove
que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y) > 0.
Em seguida,
considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e conclua
que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o
conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número
real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes
inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um
número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem
números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R
é um intervalo se, e somente se, a < x< b, a, b pertencentes a I
implica x pertencente a I.
Aguardo
sugestões!
Abraços!
André RC
E-mail classificado pelo Identificador
de Spam Inteligente.
Para alterar a categoria classificada, visite o Terra
Mail
Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.
Scan engine:
McAfee VirusScan / Atualizado em 04/04/2007 / Versão: 5.1.00/5001
Proteja o
seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free
Edition.
Version: 7.5.446 / Virus Database: 268.18.26/746 - Release Date:
4/4/2007 1:09 PM