[obm-l] Re:[obm-l] Função

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Suponhamos que haja apenas um numero finito de tais k.

Seja p o maior deles.

 

Então, olhando mod 7, teremos:

f(2p) = f(2p-1) + f(p) = f(2p-1)

f(2p+1) = f(2p) + f(p) = f(2p) ==>

f(2p+1) = f(2p) = f(2p-1) = N <> 0, pois p é o maior inteiro tal que f(p) = 0.

 

f(4p-2) = f(4p-3) + f(2p-1) = f(4p-3) + N

f(4p-1) = f(4p-2) + f(2p-1) = f(4p-2) + N

f(4p) = f(4p-1) + f(2p) = f(4p-1) + N

f(4p+1) = f(4p) + f(2p) = f(4p) + N

f(4p+2) = f(4p+1) + f(2p+1) = f(4p+1) + N

f(4p+3) = f(4p+2) + f(2p+1) = f(4p+2) + N

 

Logo, podemos escrever:

f(4p+3) =

f(4p+2) + N =

f(4p+1) + 2N =

f(4p) + 3N =

f(4p-1) + 4N =

f(4p-2) + 5N =

f(4p-3) + 6N

 

Como N é primo com 7 (pois 1<=N<=6), os numeros N, 2N, 3N, 4N, 5N e 6N são congruentes mod 7, em alguma ordem, a 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Isso quer dizer que os 7 números f(4p-3), f(4p-2), f(4p-1), f(4p), f(4p+1), f(4p+2) e f(4p+3) são mutuamente incongruentes mod 7.

Logo, um deles será necessariamente congruente a 0 mod 7.

Mas isso é um absurdo, pois estamos supondo que p é o maior inteiro tal que f(p) = 0 (mod 7) e, como é fácil ver, 4p-3 > p, pois p >= 5 (já que f(5) = 7).

 

Conclusão: existe uma infinidade de termos da sequência (f(n)) que são divisíveis por 7.

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Sat, 31 Mar 2007 18:31:06 -0700 (PDT)

Assunto:

[obm-l] Função

> Seja f:N->N definida por f(1)=1 e f(n)=f(n-1)+f(parte inteira de n/2)
Mostre que existem infinitos naturais K tais que f(K) é múltiplo de 7.

>  

> Eu achei pra k=5 e k=14. f(5)=7 e f(14)=70. Acho q eh ateh óbvio de se imaginar que existem infinitos k. Só não consigo formalizar.

>  

> Vlw.