[obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais

["J. Renan" <jrenan@xxxxxxxxx>]

Olá à todos!

Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k?

Para k = 0, temos S = n
Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2
Para k=2 pensei no seguinte..

(1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1
(2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1
...
(n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1

Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação:

0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3

Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6

Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2)


Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade?

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Abraços,
J.Renan