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Re: [obm-l] o menor valor

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] o menor valor
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>
Date: Fri, 30 Mar 2007 20:26:46 -0300
In-Reply-To: <eecfcd240703301511w1ff75327w275a89dc79c5f806@mail.gmail.com>
References: <JFMYTI$FF8EBC2253735EBD52C42D9557BDF64B@multidominios><eecfcd240703301511w1ff75327w275a89dc79c5f806@mail.gmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Oi, Ronaldo,

Complementando a dica do Claudio, veja que a uma interpretação 
geométrica ajuda...

x2 + y2 = 1 é uma circunferência de centro na origem e raio 1.
Considere que você deseja minimizar a expressão z = 2y -6x +1 (vide 
Claudio, abaixo) que, para cada valor de z,  corresponde a uma reta 
paralela à reta  y = 3x.

Logo, você deseja a reta "mais alta" que tangencia a circunferência 
(deu para sacar?).  Pense em vários valores de z e no gráfico das 
retas correspondentes.

Com o par (x;y) procurado é esta interseção, por uma simples 
semelhança de triângulos (imagine que a reta tangente está traçada) , 
tal par (x; y) é tal que y = -x/3 (pois o ponto está no segundo 
quadrante) .  Logo, substituindo na circunferência, chegamos ao 
resultado já fornecido pelo Claudio.

Obs: enviei estas observações pois hoje mesmo  postei um comentário 
sobre "programação linear"  bem geométrico e acho que a interpretação 
geométrica é muito útil em problemas simples como os postados para, 
depois, entendermos os realmente complicados...

Abraços,
Nehab


At 19:11 30/3/2007, you wrote:
>Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada.
>Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona.
>
>On 3/28/07, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
>>Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange
>>segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor
>>ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4
>>do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima,
>>publicado pelo Impa.
>>
>>No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio:
>>
>>Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1.
>>Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema:
>>Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1
>>raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 =
>>raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40).
>>
>>O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 ==>
>>f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10).
>>Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi ==> t = a - pi/2 + 2kpi ==>
>>x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10)
>>y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10)
>>
>>[]s,
>>Claudio.
>>
>>
>>---------- Cabeçalho original -----------
>>
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Cópia:
>>Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300
>>Assunto: Re: [obm-l] o menor valor
>>
>> > Ah... só mais uma coisa... esqueci o link:
>> >
>> >    http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers
>> >
>> >
>> > On 3/28/07, Ronaldo Alonso <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com> wrote:
>> > >
>> > > Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo
>> > > usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor
>> > > de uma função sujeita a uma restrição.
>> > >    No caso a função é  f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y  e a restrição é
>> > > g(x,y) = x^2 + y^2 = 1
>> > >
>> > >   Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y)
>> > > Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando
>>o
>> > > vínculo
>> > > e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para
>> > > isso vc tem
>> > > que resolver um sisteminha.
>> > >
>> > >    Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta?
>> > >
>> > > []s a todos.
>> > >
>> > >
>> > >
>> > >
>> > > On 3/26/07, vitoriogauss <vitoriogauss@uol.com.br> wrote:
>> > > >
>> > > > legal essa maneira ...gostei
>> > > >
>> > > >
>> > > > > Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira
>> > > > equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio,
>>e
>> > > > procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a
>>primeira.
>> > > > >
>> > > > > Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10
>> > > > >
>> > > > > []s
>> > > > >
>> > > > > vitoriogauss <vitoriogauss@uol.com.br> escreveu:
>> > > > > se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é
>> > > > >
>> > > > > Vitório Gauss
>> > > > >
>> > > > >
>> > > > >
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>>=========================================================================
>> > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> > > Analista de Desenvolvimento
>> > > Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
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References:
- Re: [obm-l] o menor valor
  - From: claudio\.buffara
- Re: [obm-l] o menor valor
  - From: Ronaldo Alonso

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