Re:[obm-l] Funcoes

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

f(1) = f(1-0) = 1-f(0) = 1
f(1/3) = f(1)/2 = 1/2
f(2/3) = f(1-1/3) = 1-f(1/3) = 1-1/2 = 1/2 = f(1/3) ==>
esta funcao nao eh crescente - pode ser no maximo nao-decrescente.
Supondo que seja, prosseguimos...
1/3 <= x <= 2/3 ==> f(x) = 1/2.

f(1/9) = f(1/3)/2 = 1/4 ==> f(8/9) = 3/4
f(2/9) = f(2/3)/2 = 1/4 ==> f(7/9) = 3/4
Logo, 
1/9 <= x <= 2/9 ==> f(x) = 1/4
3/9 <= x <= 6/9 ==> f(x) = 2/4
7/9 <= x <= 8/9 ==> f(x) = 3/4.

f(1/27) = f(1/9)/2 = 1/8 ==> f(26/27) = 7/8
f(2/27) = f(2/9)/2 = 1/8 ==> f(25/27) = 7/8
f(7/27) = f(7/9)/2 = 3/8 ==> f(20/27) = 5/8
f(8/27) = f(8/9)/2 = 3/8 ==> f(19/27) = 5/8
 Logo,
1/27 <= x <= 2/27 ==> f(x) = 1/8
3/27 <= x <= 6/27 ==> f(x) = 2/8
7/27 <= x <= 8/27 ==> f(x) = 3/8.
9/27 <= x <= 18/27 ==> f(x) = 4/8
19/27 <= x <= 20/27 ==> f(x) = 5/8
21/27 <= x <= 24/27 ==> f(x) = 6/8
25/27 <= x <= 26/27 ==> f(x) = 7/8

A esse ponto, parece claro que estamos lidando com sub-intervalos de [0,1] da forma [m/3^k,n/3^k].

18 = 2*3^2   e   2*3^6 = 1458 < 1991 < 2187 = 3^7 ==>
2/3^5 < 18/1991 < 1/3^4 ==>
temos que achar f(2/3^5) e f(1/3^4).

f(2/3^5) = f(2/3^4)/2 = f(2/3^3)/4 = (1/8)/4 = 1/32
f(1/3^4) = f(1/3^3)/2 = (1/8)/2 = 1/16 = 2/32 ==>
1/32 <= f(18/1991) <= 1/16.
Logo, temos que melhorar nossa aproximacao de 18/1991 por meio de fracoes da forma n/3^k.

Sabemos que 2/3^5 < 18/1991 < 3/3^5.
E quanto a 3^6?
18/1991 = x/3^6 ==> x = 18*729/1991 ==> 6 < x < 7.

f(6/3^6) = f(2/3^5) = 1/32
f(7/3^6) = f(7/3^5)/2 = f(7/3^4)/4 = f(7/3^3)/8 = 3/64.
Ainda nao foi suficiente...

18/1991 = x/3^7 ==> x = 18*2187/1991 ==> 19 < x < 20
f(19/3^7) = f(19/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128
f(20/3^7) = f(20/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128 = f(19/3^7)

Conclusao: f(18/1991) = 5/128.


[]s,
Claudio.


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 29 Mar 2007 22:46:18 -0300
Assunto: [obm-l] Funcoes

> Oi,
> 
> Eu pedi ajuda nesse problema mas nao chegou o email, entao to mandando de
> novo, desculpem se chegar duas vezes.
> 
> Seja f uma funcao crescente definida para todo numero real x, 0 <= x <= 1,
> tal que f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 e f(1 - x)=1 - f(x). Encontre f(18/1991).
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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