RES: [obm-l] G.A.

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

i) Nao. Sendo c1, c2, c3 escalares tais que c1 + c2 + c3 <> 0, seja m = -(c1*u + c2*v + c3*w)/(c1 + c2 + c3). Temos que c1, c2 e c3 nao sao todos nulos e que, como {u, v , w} ek LI, m nao eh nulo. Temos que c1(u + m) + c2(v + m) + c3(w + m) = (c1 + c2 + c3)m + c1*u + c2*v + c3*w = -(c1 + c2 + c3)(c1*u + c2*v + c3*w)/(c1 + c2 + c3) + c1*u + c2*v + c3*w = 0. Como os escalares nao sao todos nulo, segue-se que {u+m,v+m,w+m} é LD. 
Engracado, aa primeira vista tive quase certeza que o conjunto era mesmo LI, porque o que fizemos for dar uma translacao
Observe que isto pode ser generalizado para conjuntos com n componentes

ii) para todo vetor x temos que ||x|| = raiz(x.x), onde . denota produto escalar.
 (au + bv).(au + bv) = a^2 u.u + ab u.v + bav.u + b^2 v.v = a^2 ||u||^2 + 2ab u.v  b^2||v||^2 = , sendo N a norma comum de u e de v.
Analogamente, (av + bu).(av + bu)= a^2 ||v||^2 + 2ab u.v + b^2 ||u|| = (a^2 + b^2)N^2 + 2ab u.v. Logo, ||au + bv|| = || av + bu||.

Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de carlos martins martins
Enviada em: terça-feira, 27 de março de 2007 17:13
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] G.A.


Olá pessoal, estou com dois problemas em geometria analítica.

i) Se o conjunto {u,v,w} é LI, é verdade que sendo m um vetor arbitrário o 
conjunto {u+m,v+m,w+m} é LI;

ii) Se u e v são vetores de mesma norma, mostre que para quaisquer números 
reais a e b, os vetores au+bv e av+bu tem mesma norma.

obrigado.

_________________________________________________________________
Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar 
as novidades-grátis. Saiba mais: 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================