Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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Data:

Tue, 27 Mar 2007 15:06:17 +0000

Assunto:

[obm-l] algebra complexa dos complexos

> Sauda,c~oes,

>

> Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos

> números complexos: uma do Morgado (minha) e

> outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei

> (surrupiei, afanei :<) ) de um irmão.

>

> Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados,

> outros não.

>

> Um teorema muito útil é o seguinte:

>

> Teorema 7 no M: A soma das potências de expoente m

> das raízes de índice n da unidade é igual a n se m é

> múltiplo de n e igual a zero, caso contrário.

> 

> Demonstração: m = pn é trivial. m <> pn é um bom

> exercício de De Moivre e PG.

>

 

Se m <> pn, então existem q e r em Z tais que:

m = qn + r, com 0 < r < n.

 

As raízes n-ésimas da unidade são:

1, w, w^2, ..., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).

 

w^n = 1 ==> w^m = w^(qn+r) = w^r.

Mas se 0 <= r <= s < n  e  w^r = w^s, então w^(s-r) = 1 ==>

s = r ==>

os números w^r (r = 0, 1, ..., n-1) são distintos dois a dois ==>

estes números são justamente as raízes n-ésimas da unidade (em alguma ordem), cuja soma é igual a 0.

 

 

> Teorema 8: As raízes comuns às equações x^m - 1 = 0

> e x^n - 1 = 0 são as raízes da equação x^d - 1 = 0

> onde d = (m,n). A demonstração será omitida.

>

 

Basta ver que mdc(x^m-1,x^n-1) = x^d-1.

 

>

> Depois mando o Teorema 6, que trata do número de

> raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem

> demonstração.

>

 

Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos com n.

 

[]s,

Claudio.