Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Wed, 21 Mar 2007 13:00:32 +0000

Assunto:

[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)

> Sauda,c~oes,

>

> ===

> 2(1+x^{n+1})^n >= (1+x^n)^{n+1}

> para x>0 , n\in N.

> ===

> Tentei por indução e não consegui.

>

 

Seja f:[0,+inf) -> R dada por:

f(x) = 2^(1/n)*(1+x^(n+1)) - (1+x^n)^((n+1)/n)

onde n é um inteiro positivo arbitrário mas fixo.

 

f é diferenciável ==>

f'(x) = (n+1)*x^(n-1)*(2^(1/n)*x - (1+x^n)^(1/n))

f'(x) = 0 ==> x = 0 ou x = 1

x > 1 ==> f'(x) > 0.

Logo, os pontos críticos de f são x = 0 e x = 1.

 

f(0) = 2^(1/n) - 1 > 0

f(1) = 0 ==> f(x) é mínimo (e igual a 0) para x = 1 ==>

f(x) >= 0 para todo x >= 0 ==>

2^(1/n)*(1+x^(n+1)) >= (1+x^n)^((n+1)/n), para todo x >= 0 ==>

(elevando a n-ésima potência)

2*(1+x^(n+1))^n >= (1+x^n)^(n+1), para todo x >= 0.

 

> ===

> Aí vai:

>

> Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + .... n^p

> com n,p\in N; p >= n > 0. Mostre que

>

> [n/(p+1)] + 1/2 <= S/n^p < 2 .

>

> Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.

>

 

Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior, usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n). Teremos:

 

(1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) <= 1/(p+1) <= (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1)

 

Ou seja,  (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 <= n/(p+1) <= S/n^p.

 

Como 0 < n <= p, teremos S/n^p - 1 <= n/(p+1) < 1 ==> S/n^p < 2.

 

Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p+1), que é zero.

 

[]s,

Claudio.