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Re: [obm-l] Primos
Uma maneira de certo modo mais elementar de demonstrar é provar que n^n-1 tem um fator primo da forma 1+kn. A demonstracao disso é bem comprida mas muito legal. Estou até escrevendo um artigo sobre ela. Futuramente (nada mais que agumas semanas) eu terei como disponibilizar, hehe!
Em 19/03/07, Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br> escreveu:
On Mon, Mar 19, 2007 at 08:21:30AM -0300, claudio.buffara wrote:
...
> Enfim, eu entrei no Google e digitei:
> primes congruent to 1 Dirichlet
>
> A terceira referencia foi:
>
http://planetmath.org/encyclopedia/SpecialCaseOfDirichletsTheoremOnPrimesInArithmeticProgressions.html
...
> > Estou com o seguinte problema:
> >
> > Para cada n > 2, existem infinitos primos congruentes a 1 módulo n.
> >
> > Sei que este problema é um caso particular do teorema de Dirichlet, cuja demonstração é não trivial. Porém, vi no livro do
> Hardy que existem demonstrações mais simples para este resultado particular. Se alguém souber alguma, gostaria de vê-la.
A home page que o Claudio indicou faz o caso n primo.
Se n não for primo o argumento é o mesmo mas em vez de
f_n(x) = (x^n-1)/(x-1) devemos tomar f_n o polinômio ciclotômico
que tem por raízes as raízes n-ésimas *primitivas* de 1,
ou seja, as raízes n-ésimas que não são raízes m-ésimas
para nenhum m < n. Os polinômios f_n podem ser definidos por
f_1(x) = x-1
PRODUTO_{m inteiro positivo, m divisor de n} f_m(x) = x^n-1
As propriedades necessárias dos polinômios f_n são de fácil demonstração.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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