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[SPAM] Re: [obm-l] Exemplo de Funções Inversas
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Obrigado Bruno,
estou estudando no livro de cálculo do ANTON, mas também ví isso no STEWART. Eles dizem que existe f ^ -1 se e somente se f é injetiva. Não teria que ser sobrejetiva, de acordo com o que você escreveu ? Ou ele sempre considera f sobrejetiva ?
abraços
Dênis
Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> escreveu:
Não são redundantes. Suponha f: A --> B, e g: B --> A, tais que g(f(x)) = x, para todo x de A. Então a função g é chamada inversa à esquerda de x. Mas isso não garante que f(g(x)) = x, pq ninguem falou que g é inversa à direita de f.
Esses conceitos estão ligados aos de função injetiva e função sobrejetiva. Vou mostrar duas equivalências a esse respeito, demonstrando apenas uma parte da primeira, que servirá de ilustração à sua pergunta.
(a) f injetiva <==> f admite inversa à esquerda
Suponha f injetiva. Assim, a pré-imagem de qualquer elemento de f(A) terá apenas um único elemento. Defina h: f(A) contido em B --> A por h(x) = f^(-1) (h(x)), isto é: a cada elemento da imagem de f associe o único elemento de A que a função f o tem por imagem. Agora estenda h para todo o conjunto B construindo a função g: B --> A dada por g(x) = h(x) se x pertence a f(A), ou g(x) = K, se x não pertence a f(A), onde K é um elemento qualquer, fixado, de A.
Assim, temos que g é inversa à esquerda de f, ie, g(f(x)) = x, para todo x em A. Observe que não necessariamente vale f(g(x)) = x. Para ver um exemplo, vc precisa que B - f(A) != vazio, isto é, f não é sobrejetiva; assim, basta tomar um elemento x em B - f(A); f(g(x)) pertence a f(A), ao passo que x pertence ao complementar de f(A), assim f(g(x)) != x !!
Vou deixar o outro sentido da equivalência para vc tentar.
(b) f sobrejetiva <==> f admite inversa à direita
Se vc quiser um exemplo bem simples para o caso (a), pegue a função f: N --> N dada por f(x) = 2x.
Veja que f é injetiva, mas não sobrejetiva. Por (a) e (b), ela admite inversa à esquerda mas não inversa à direita. Vejamos:
Defina a função g: N --> N por: g(x) = 1 se x for ímpar e g(x) = x/2 se x for par. Neste caso, g(f(x)) = x, pois g(f(x)) = g(2x) = x, pois 2x é sempre par, já que x é natural.
O inverso não ocorre: f(g(x)) = 2 se x for ímpar ou f(g(x)) = x, se x for par. Assim, é errado dizer que f(g(x)) = x para todo x, então g não é inversa à direita de f.
Se uma função for sobrejetiva e injetiva (ie, bijetiva), então por (a) e (b) ela adimitirá inversas à direita e à esquerda. Vc pode verificar que ambas as inversas são a mesma função, e então a chamaremos simplesmente de inversa de f.
(ou seja: se f: A --> B, g: B --> A e h: B --> A são tais que f(g(x)) = x, para todo x em B, e h(f(x)) = x para todo x em A, então g = h; veja que simples: f(g(x)) = x, aplique h dos dois lados: h(f(g(x))) = h(x). Mas h(f(?)) = ?, para todo ?, então h(f(g(x))) = g(x), para todo x. Assim h(x) = g(x), para todo x em B)
Qualquer coisa pergunte!
Abraço
Bruno
ps: qualquer livro de análise real que se preocupe em fazer toda a teoria desde o princípio tem isso. Um exemplo é o do Élon Lages Lima, Curso de Análise - vol 1.
On 3/16/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas <demanuelvargas19@yahoo.com.br> wrote: Caros amigos da lista,
f e g são inversas se as duas condições são satisfeitas :
1) fog(x)=x
2) gof(x)=x
Mas elas não são redundantes não ? Se fog(x)=x obrigatóriamente gof(x)=x ?
Por favor, mandem um contra-exemplo de f e g tais que fog(x)=x mas gof(x)<>x
obrigado
Dênis
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Bruno França dos Reis
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<div>Obrigado Bruno,</div> <div> </div> <div>estou estudando no livro de cálculo do ANTON, mas também ví isso no STEWART. Eles dizem que existe f ^ -1 se e somente se f é injetiva. Não teria que ser sobrejetiva, de acordo com o que você escreveu ? Ou ele sempre considera f sobrejetiva ?</div> <div> </div> <div>abraços</div> <div> </div> <div>Dênis<BR><BR><B><I>Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com></I></B> escreveu:</div> <BLOCKQUOTE class=replbq style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: #1010ff 2px solid">Não são redundantes. Suponha f: A --> B, e g: B --> A, tais que g(f(x)) = x, para todo x de A. Então a função g é chamada inversa à esquerda de x. Mas isso não garante que f(g(x)) = x, pq ninguem falou que g é inversa à direita de f. <BR><BR>Esses conceitos estão ligados aos de função injetiva e função sobrejetiva. Vou mostrar duas equivalências a esse respeito, demonstrando apenas uma parte da primeira, que servirá de
ilustração à sua pergunta.<BR><BR>(a) f injetiva <==> f admite inversa à esquerda<BR><BR>Suponha f injetiva. Assim, a pré-imagem de qualquer elemento de f(A) terá apenas um único elemento. Defina h: f(A) contido em B --> A por h(x) = f^(-1) (h(x)), isto é: a cada elemento da imagem de f associe o único elemento de A que a função f o tem por imagem. Agora estenda h para todo o conjunto B construindo a função g: B --> A dada por g(x) = h(x) se x pertence a f(A), ou g(x) = K, se x não pertence a f(A), onde K é um elemento qualquer, fixado, de A. <BR>Assim, temos que g é inversa à esquerda de f, ie, g(f(x)) = x, para todo x em A. Observe que não necessariamente vale f(g(x)) = x. Para ver um exemplo, vc precisa que B - f(A) != vazio, isto é, f não é sobrejetiva; assim, basta tomar um elemento x em B - f(A); f(g(x)) pertence a f(A), ao passo que x pertence ao complementar de f(A), assim f(g(x)) != x !! <BR><BR>Vou deixar o outro sentido da equivalência para vc
tentar.<BR><BR>(b) f sobrejetiva <==> f admite inversa à direita<BR><BR><BR>Se vc quiser um exemplo bem simples para o caso (a), pegue a função f: N --> N dada por f(x) = 2x. <BR>Veja que f é injetiva, mas não sobrejetiva. Por (a) e (b), ela admite inversa à esquerda mas não inversa à direita. Vejamos:<BR>Defina a função g: N --> N por: g(x) = 1 se x for ímpar e g(x) = x/2 se x for par. Neste caso, g(f(x)) = x, pois g(f(x)) = g(2x) = x, pois 2x é sempre par, já que x é natural. <BR>O inverso não ocorre: f(g(x)) = 2 se x for ímpar ou f(g(x)) = x, se x for par. Assim, é errado dizer que f(g(x)) = x para todo x, então g não é inversa à direita de f.<BR><BR><BR>Se uma função for sobrejetiva e injetiva (ie, bijetiva), então por (a) e (b) ela adimitirá inversas à direita e à esquerda. Vc pode verificar que ambas as inversas são a mesma função, e então a chamaremos simplesmente de inversa de f. <BR>(ou seja: se f: A --> B, g: B --> A e h: B --> A são tais que
f(g(x)) = x, para todo x em B, e h(f(x)) = x para todo x em A, então g = h; veja que simples: f(g(x)) = x, aplique h dos dois lados: h(f(g(x))) = h(x). Mas h(f(?)) = ?, para todo ?, então h(f(g(x))) = g(x), para todo x. Assim h(x) = g(x), para todo x em B) <BR><BR><BR><BR>Qualquer coisa pergunte!<BR>Abraço<BR>Bruno<BR><BR>ps: qualquer livro de análise real que se preocupe em fazer toda a teoria desde o princípio tem isso. Um exemplo é o do Élon Lages Lima, Curso de Análise - vol 1. <BR><BR><BR><BR><BR> <DIV><SPAN class=gmail_quote>On 3/16/07, <B class=gmail_sendername>Dênis Emanuel da Costa Vargas</B> <<A href="mailto:demanuelvargas19@yahoo.com.br">demanuelvargas19@yahoo.com.br</A>> wrote:</SPAN> <BLOCKQUOTE class=gmail_quote style="PADDING-LEFT: 1ex; MARGIN: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; BORDER-LEFT: rgb(204,204,204) 1px solid"> <DIV>Caros amigos da lista,</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>f e g são inversas se as duas condições são satisfeitas : </DIV> <DIV> </DIV>
<DIV>1) fog(x)=x</DIV> <DIV>2) gof(x)=x</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>Mas elas não são redundantes não ? Se fog(x)=x obrigatóriamente gof(x)=x ?</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>Por favor, mandem um contra-exemplo de f e g tais que fog(x)=x mas gof(x)<>x </DIV> <DIV> </DIV> <DIV>obrigado</DIV><SPAN class=sg> <DIV> </DIV> <DIV>Dênis</DIV></SPAN><SPAN class=ad> <div>__________________________________________________<BR>Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger <BR><A onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)" href="http://br.messenger.yahoo.com/" target=_blank>http://br.messenger.yahoo.com/</A> </div></SPAN></BLOCKQUOTE></DIV><BR><BR clear=all><BR>-- <BR>Bruno França dos Reis <BR>email: bfreis - <A href="http://gmail.com/">gmail.com</A><BR>gpg-key: <A href="http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key">http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key</A><BR>icq: 12626000 <BR><BR>e^(pi*i)+1=0
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