Re: [obm-l] Exemplo de Funções Inversas

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Não são redundantes. Suponha f: A --> B, e g: B --> A, tais que g(f(x)) = x, para todo x de A. Então a função g é chamada inversa à esquerda de x. Mas isso não garante que f(g(x)) = x, pq ninguem falou que g é inversa à direita de f.

Esses conceitos estão ligados aos de função injetiva e função sobrejetiva. Vou mostrar duas equivalências a esse respeito, demonstrando apenas uma parte da primeira, que servirá de ilustração à sua pergunta.

(a) f injetiva <==> f admite inversa à esquerda

Suponha f injetiva. Assim, a pré-imagem de qualquer elemento de f(A) terá apenas um único elemento. Defina h: f(A) contido em B --> A por h(x) = f^(-1) (h(x)), isto é: a cada elemento da imagem de f associe o único elemento de A que a função f o tem por imagem. Agora estenda h para todo o conjunto B construindo a função g: B --> A dada por g(x) = h(x) se x pertence a f(A), ou g(x) = K, se x não pertence a f(A), onde K é um elemento qualquer, fixado, de A.
Assim, temos que g é inversa à esquerda de f, ie, g(f(x)) = x, para todo x em A. Observe que não necessariamente vale f(g(x)) = x. Para ver um exemplo, vc precisa que B - f(A) != vazio, isto é, f não é sobrejetiva; assim, basta tomar um elemento x em B - f(A); f(g(x)) pertence a f(A), ao passo que x pertence ao complementar de f(A), assim f(g(x)) != x !!

Vou deixar o outro sentido da equivalência para vc tentar.

(b) f sobrejetiva <==> f admite inversa à direita


Se vc quiser um exemplo bem simples para o caso (a), pegue a função f: N --> N dada por f(x) = 2x.
Veja que f é injetiva, mas não sobrejetiva. Por (a) e (b), ela admite inversa à esquerda mas não inversa à direita. Vejamos:
Defina a função g: N --> N por: g(x) = 1 se x for ímpar e g(x) = x/2 se x for par. Neste caso, g(f(x)) = x, pois g(f(x)) = g(2x) = x, pois 2x é sempre par, já que x é natural.
O inverso não ocorre: f(g(x)) = 2 se x for ímpar ou f(g(x)) = x, se x for par. Assim, é errado dizer que f(g(x)) = x para todo x, então g não é inversa à direita de f.


Se uma função for sobrejetiva e injetiva (ie, bijetiva), então por (a) e (b) ela adimitirá inversas à direita e à esquerda. Vc pode verificar que ambas as inversas são a mesma função, e então a chamaremos simplesmente de inversa de f.
(ou seja: se f: A --> B, g: B --> A e h: B --> A são tais que f(g(x)) = x, para todo x em B, e h(f(x)) = x para todo x em A, então g = h; veja que simples: f(g(x)) = x, aplique h dos dois lados: h(f(g(x))) = h(x). Mas h(f(?)) = ?, para todo ?, então h(f(g(x))) = g(x), para todo x. Assim h(x) = g(x), para todo x em B)



Qualquer coisa pergunte!
Abraço
Bruno

ps: qualquer livro de análise real que se preocupe em fazer toda a teoria desde o princípio tem isso. Um exemplo é o do Élon Lages Lima, Curso de Análise - vol 1.

On 3/16/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas <demanuelvargas19@yahoo.com.br> wrote:

Caros amigos da lista,

 

f e g são inversas se as duas condições são satisfeitas :

 

1) fog(x)=x

2) gof(x)=x

 

Mas elas não são redundantes não ? Se fog(x)=x obrigatóriamente gof(x)=x ?

 

Por favor, mandem um contra-exemplo de f e g tais que fog(x)=x mas gof(x)<>x

 

obrigado

 

Dênis

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