[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.

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Thu, 1 Mar 2007 10:56:56 -0300

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.

> Vou aproveitar a soma trigonométrica e pedir novamente uma ajuda com o

> produto trigonométrico sen(kPI/n), k indo de 1 até n-1. Sei que o

> resultado dá n/2^(n-1) mas não encontrei nenhuma maneira de

> demonstrar. Qualquer ajuda eu agradeço.

>

> Abraços.

>

> Douglas

>

 

O truque neste caso é fatorar x^(2n) - 1 na forma:

(x - 1)*(x + 1)*Produto(k=1...n-1) (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1)

 

Justificativa:

As raízes de x^(2n) - 1 são complexos da forma cis(k*pi/n) (0<=k<=2n-1)

No entanto, observe que cis(k*pi/n) e cis((2n-k)*pi/n) = cis(-k*pi/n) são complexos conjugados

(inclusive quando k = 0 ou k = n ==> x = 1 ou -1, respectivamente)

Logo, para k <> 0 e k <> n, os fatores:

(x - cis(k*pi/n)) e (x - cis(-k*pi/n)) 

podem ser multiplicados, resultando em:

x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1.

 

A outra fatoração de x^(2n) - 1 é (ou deveria ser) bem conhecida:

(x^2 - 1)*(x^(2n-2) + x^(2n-4) + ... + x^2 + 1)

 

Logo, obtemos a identidade:

Soma(k=0...n-1) x^(2k) = Produto(k=1...n-1) (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1)

 

Fazendo x = 1, obtemos:

n = Produto(k=1...n-1) (2 - 2*cos(k*pi/n)) =

2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) (1 - cos(k*pi/n))

 

Fazendo x = -1, obtemos:

n = 2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) (1 + cos(k*pi/n))

 

Multiplicando as duas expressões obtidas, vem:

n^2 = 2^(2n-2)*Produto(k=1...n-1) (1 - cos^2(k*pi/n)) ==>

n^2 = 2^(2n-2)*Produto(k=1...n-1) sen^2(k*pi/n) ==>

(como todos os senos são positivos, podemos igualar as raízes quadradas dos dois lados)

 

n = 2^(n-1)*Produto(k=1...n-1) sen(k*pi/n) ==>

 

Produto(k=1...n-1) sen(k*pi/n) = n/2^(n-1)

 

***

 

Usando a mesma identidade, você também pode calcular:

Produto(k=1...n-1) cos(k*pi/n)

Neste caso, quem deve ser x?

 

[],

Claudio.