Re: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.

["Douglas Ribeiro Silva" <dougzbr@xxxxxxxxx>]

Vou aproveitar a soma trigonométrica e pedir novamente uma ajuda com o
produto trigonométrico sen(kPI/n), k indo de 1 até n-1. Sei que o
resultado dá n/2^(n-1) mas não encontrei nenhuma maneira de
demonstrar. Qualquer ajuda eu agradeço.

Abraços.

Douglas

Em 28/02/07, Rogério Possi Júnior<ropossijr@hotmail.com> escreveu:
> Boa Shine!
>
> Sds,
>
> Rogério
>
>
> >From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
> >Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST)
> >
> >Ah, esse é um grande clássico!
> >
> >Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus.
> >
> >Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica
> >parecida, mas mais simples, que é a soma
> >    1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89)
> >de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de
> >frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que
> >    1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1)
> >
> >Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B =
> >-1, de modo que a soma é igual a
> >    (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89
> >
> >Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal
> >que
> >    1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1)
> >
> >Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos
> >    1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k
> >
> >Parece alguma fórmula familiar? Compare com
> >    sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a
> >(forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k)
> >
> >Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é
> >difícil ver que C = -1/sen 1. Assim
> >    1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1))
> >e a soma pedida é
> >    1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89)
> >  = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... +
> >(sen88/cos88 - sen89/cos89))
> >  = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89)
> >  = -1/sen1(0 - cos1/sen1)
> >  = cos1/sen^2(1).
> >
> >[]'s
> >Shine
> >
> >
> >----- Original Message ----
> >From: Rogério Possi Júnior <ropossijr@hotmail.com>
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM
> >Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
> >
> >
> >Caros,
> >
> >Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica?
> >
> >(USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... +
> >1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1).
> >
> >Rogério
> >
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