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Re: [obm-l] Recorrencias Lineares
--- Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br>
escreveu:
> Ol�,
>
> "Veja que apenas reparando na express�o da
> transformada
> Z, podemos dizer coisas importantes sobre x[n]. No
> caso, X(z) tem p�los fora do c�rculo de raio
> unit�rio
> em torno da origem no plano complexo, o que nos
> indica
> que x[n] -> oo quando n->oo. "
>
Bem, a grosso modo, porque a antitransformada de
y(z)=1/(1-a/z) � y[n]=a^n. Se a > 1, y[n] diverge...
No caso de Laplace, vale o mesmo para o semiplano s>0.
Mas eu posso garantir a vc que o assunto � muito
amplo.
> ja procurei literatura sobre isso na internet mas
> nao achei..
> qual a interpretacao dos zeros e polos sobre uma
> transformada (seja
> ela de laplace ou z)?
>
Vc tocou no tema central da engenharia de controle.
Ocorre que toda a teoria sobre estabilidade de
sistemas realimentados foi constru�da em cima das
transformadas (Laplace, Z, Fourier). N�o em cima dos
sinais no dom�nio tempo. Porque? Principalmente porque
no dom�nio tempo vc est� trabalhando com eq
diferenciais ou eq de diferen�as, ao passo que no
sistema transformado vc mapeia o problema para uma eq.
alg�brica.
Come�ando pela wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Control_theory
Procure no google por stability of feedback systems,
control theory, pole zero modelling... Numa olhada
r�pida, j� achei algumas coisas:
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/798516D5-10E8-426E-8DE3-58F716A5E3CF/0/chapter_22.pdf
http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/werneckr/cp_cap0500.htm
http://www2.dem.inpe.br/val/cursos/Controle.pdf
http://tecgas.uniderp.br/Apostila_Principios_Basicos_Inst_e_Controle_CTGN_1.pdf
ou qualquer departamento de engenharia el�trica deve
ter ampla bibliografia. No meu tempo o livro mais
popular era o "engenharia de controle moderno", do K.
Ogata. Mas acho que n�o � um bom texto para come�ar...
[] �s Demetrio
> agradeco a ajuda,
> abracos,
> Salhab
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Demetrio Freitas"
> <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, February 26, 2007 11:22 AM
> Subject: Re: [obm-l] Recorrencias Lineares
>
>
> > ou ha um metodo melhor, para calcular isso?
> >
> > Obrigado.
> > --------------------------------------------------
> > Rafael
> >
>
> Acredito que a ferramenta que voc� procure seja a
> transformada Z. Eu n�o deveria responder sobre um
> assunto em que eu estou t�o enferrujado, mas...
>
> A transformada Z � o equivalente em sistemas
> discretos/amostrados da transformada de Laplace em
> sistemas no dom�nio tempo. Da mesma forma que a
> transformada de Laplace facilita a solu��o de EDOs
> envolvendo fun��es cont�nuas, a transformada Z
> facilita a resolu��o de equa��es de diferen�as
> lineares a coeficientes constantes do tipo que vc
> descreveu.
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform
>
> Nos cursos de engenharia el�trica esta analogia
> entre
> sistemas cont�nuos/amostrados � explorada porque as
> cadeiras de an�lise de sistemas/controle vem antes
> de
> DSP/sistemas amostrados. Creio que esta estrutura��o
> facilita mesmo as coisas pq, em v�rios aspectos, a
> obten��o de propriedades do sistema amostrado
> atrav�s
> da transformada Z de sua fun��o de transfer�ncia tem
> paralelos � an�lise de sistemas cont�nuos atrav�s da
> transformada de Laplace.
>
> Tomando o seu exemplo, e supondo a recorr�ncia
> valendo
> para n >=0:
> x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2
> Vamos arbitrar x[n]==0 para n<0 e calcular x[1],x[2]
> pela f�rmula:
> x0 -5*0 +6*0 = 5 + 3*0 +2*0 => x0 = 5
> x1 -5*5 +6 *0 = 5 +3 + 2 => x1 = 35
>
> Para condi��es inicias diferentes, um m�todo seria
> transform�-las em entradas, usando a fun��o delta de
> Dirac. Veja:
>
http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Z_Transform/node15.html
>
> Voltando � express�o original devemos aplicar a
> transformada Z nos dois lados da igualdade. Isso se
> faz usando tabelas de transformadas Z, do mesmo modo
> como se usa Laplace para uma EDO:
>
> x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2 =>
> aplicando a transformada Z temos:
>
> X(z) -5*X(z)/z +6*X(z)/z^2 = 5/(1-1/z)
> +3/z/(1-1/z)^2 + 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3
>
> X(z) *( 1 -5/z +6/z^2) = 5/(1-1/z) +3/z/(1-1/z)^2 +
> 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3
>
> X(z) = (5/(1-1/z) +3/z/(1-1/z)^2 +
> 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3) * 1/(1 -5/z +6/z^2)
>
> Agora a antitransformada Z de X(z) lhe dar� a x[n]
> procurada. Para obt�-la, vc deve decompor X(z) em
> fra��es parciais...
>
> X(z) = 1 -80/(z-2) +2/(z-1)^3 +243/4/(z-3)
> +23/2/(z-1)^2 +121/4/(z-1)
>
> ... e obter a antitransformada Z de cada termo a
> partir de uma tabela de transformadas Z...
>
> Somando tudo temos:
>
> x[n] = 91/4 +17/2*n +n^2 +153/4*3^n -56*2^n
>
> Veja que apenas reparando na express�o da
> transformada
> Z, podemos dizer coisas importantes sobre x[n]. No
> caso, X(z) tem p�los fora do c�rculo de raio
> unit�rio
> em torno da origem no plano complexo, o que nos
> indica
> que x[n] -> oo quando n->oo.
>
> Outra observa��o interessante � que usando a
> transformada Z vc pode obter o que se chama de
> fun��o
> de transfer�ncia do sistema. Observe que o lado
> esquerdo da sua recorr�ncia representa a influ�ncia
> de
> valores passados da sequ�ncia na resposta atual.
> Isso
> representa uma "mem�ria" do sistema, ou, para os
> engenheiros, a sua caracteriza��o. Do lado direito,
> vc
> tem a influ�ncia da entrada, um valor de excita��o
> em
> fun��o de n. Para os engenheiros � importante isolar
> as caracter�sticas do sistema, independentemente da
> entrada. Imagine que vc defina uma outra entrada
> qualquer no seu sistema, expressa como uma fun��o de
> n: E[n]
>
> A sua resposta, em termos de transformada Z seria
> data
> por:
> X(z) = 1/(1 -5/z +6/z^2) * tranfZ{E[n]}
>
> A parte 1/(1 -5/z +6/z^2) permanece e representa um
> comportamento que � caracter�stico do sistema. Os
> engenheiros chamam isso de fun��o de transfer�ncia.
>
> Mas, como eu disse no in�cio, estou muito, muito
> enferrujado nisso. Se algu�m trabalha com DSP na
> lista
> poder� responder com muito mais propriedade, e dar
> alguma refer�ncia melhor.
>
> []�s Dem�trio
>
>
> --- Rafael <rfa1989@gmail.com> escreveu:
>
> > Qual o metodo que voces usam para resolver
> > recorrencias lineares
> > nao-homogeneas do tipo: a_n*x_n +...+a_0*x_0 =
> P(n)
> > sendo P(n) um polinomio em n.
> > Ex.: x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2
> >
> > Li uma solucao de um problema parecido com esse
> (mas
> > do mesmo formato
> > geral que eu descrevi acima) , onde o autor ao meu
> > ver "chuta" que x_n
> > � da forma x_n = A*n^2 + B*n +C , e substitui nos
> > x_n, x_(n-1), etc do
> > problema.
> > Depois usa identidade de polinomios para
> determinar
> > A,B,C e depois
> > soma essa solucao com a solucao do caso homogeneo
> > (como se o segundo
> > membro fosse zero).
> >
> > Como � que eu vou saber que polinomio devo
> "chutar"
> > para a forma x_n?
> > sera que � sempre um polinomio do mesmo grau que
> > P(n)?
> > ou ha um metodo melhor, para calcular isso?
> >
> > Obrigado.
> > --------------------------------------------------
> > Rafael
> >
> >
>
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> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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