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Re: [obm-l] Recorrencias Lineares
--- Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br>
escreveu:
> Olá,
>
> "Veja que apenas reparando na expressão da
> transformada
> Z, podemos dizer coisas importantes sobre x[n]. No
> caso, X(z) tem pólos fora do círculo de raio
> unitário
> em torno da origem no plano complexo, o que nos
> indica
> que x[n] -> oo quando n->oo. "
>
Bem, a grosso modo, porque a antitransformada de
y(z)=1/(1-a/z) é y[n]=a^n. Se a > 1, y[n] diverge...
No caso de Laplace, vale o mesmo para o semiplano s>0.
Mas eu posso garantir a vc que o assunto é muito
amplo.
> ja procurei literatura sobre isso na internet mas
> nao achei..
> qual a interpretacao dos zeros e polos sobre uma
> transformada (seja
> ela de laplace ou z)?
>
Vc tocou no tema central da engenharia de controle.
Ocorre que toda a teoria sobre estabilidade de
sistemas realimentados foi construída em cima das
transformadas (Laplace, Z, Fourier). Não em cima dos
sinais no domínio tempo. Porque? Principalmente porque
no domínio tempo vc está trabalhando com eq
diferenciais ou eq de diferenças, ao passo que no
sistema transformado vc mapeia o problema para uma eq.
algébrica.
Começando pela wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Control_theory
Procure no google por stability of feedback systems,
control theory, pole zero modelling... Numa olhada
rápida, já achei algumas coisas:
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/798516D5-10E8-426E-8DE3-58F716A5E3CF/0/chapter_22.pdf
http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/werneckr/cp_cap0500.htm
http://www2.dem.inpe.br/val/cursos/Controle.pdf
http://tecgas.uniderp.br/Apostila_Principios_Basicos_Inst_e_Controle_CTGN_1.pdf
ou qualquer departamento de engenharia elétrica deve
ter ampla bibliografia. No meu tempo o livro mais
popular era o "engenharia de controle moderno", do K.
Ogata. Mas acho que não é um bom texto para começar...
[] ´s Demetrio
> agradeco a ajuda,
> abracos,
> Salhab
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Demetrio Freitas"
> <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, February 26, 2007 11:22 AM
> Subject: Re: [obm-l] Recorrencias Lineares
>
>
> > ou ha um metodo melhor, para calcular isso?
> >
> > Obrigado.
> > --------------------------------------------------
> > Rafael
> >
>
> Acredito que a ferramenta que você procure seja a
> transformada Z. Eu não deveria responder sobre um
> assunto em que eu estou tão enferrujado, mas...
>
> A transformada Z é o equivalente em sistemas
> discretos/amostrados da transformada de Laplace em
> sistemas no domínio tempo. Da mesma forma que a
> transformada de Laplace facilita a solução de EDOs
> envolvendo funções contínuas, a transformada Z
> facilita a resolução de equações de diferenças
> lineares a coeficientes constantes do tipo que vc
> descreveu.
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform
>
> Nos cursos de engenharia elétrica esta analogia
> entre
> sistemas contínuos/amostrados é explorada porque as
> cadeiras de análise de sistemas/controle vem antes
> de
> DSP/sistemas amostrados. Creio que esta estruturação
> facilita mesmo as coisas pq, em vários aspectos, a
> obtenção de propriedades do sistema amostrado
> através
> da transformada Z de sua função de transferência tem
> paralelos à análise de sistemas contínuos através da
> transformada de Laplace.
>
> Tomando o seu exemplo, e supondo a recorrência
> valendo
> para n >=0:
> x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2
> Vamos arbitrar x[n]==0 para n<0 e calcular x[1],x[2]
> pela fórmula:
> x0 -5*0 +6*0 = 5 + 3*0 +2*0 => x0 = 5
> x1 -5*5 +6 *0 = 5 +3 + 2 => x1 = 35
>
> Para condições inicias diferentes, um método seria
> transformá-las em entradas, usando a função delta de
> Dirac. Veja:
>
http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Z_Transform/node15.html
>
> Voltando à expressão original devemos aplicar a
> transformada Z nos dois lados da igualdade. Isso se
> faz usando tabelas de transformadas Z, do mesmo modo
> como se usa Laplace para uma EDO:
>
> x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2 =>
> aplicando a transformada Z temos:
>
> X(z) -5*X(z)/z +6*X(z)/z^2 = 5/(1-1/z)
> +3/z/(1-1/z)^2 + 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3
>
> X(z) *( 1 -5/z +6/z^2) = 5/(1-1/z) +3/z/(1-1/z)^2 +
> 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3
>
> X(z) = (5/(1-1/z) +3/z/(1-1/z)^2 +
> 2/z*(1+1/z)/(1-1/z)^3) * 1/(1 -5/z +6/z^2)
>
> Agora a antitransformada Z de X(z) lhe dará a x[n]
> procurada. Para obtê-la, vc deve decompor X(z) em
> frações parciais...
>
> X(z) = 1 -80/(z-2) +2/(z-1)^3 +243/4/(z-3)
> +23/2/(z-1)^2 +121/4/(z-1)
>
> ... e obter a antitransformada Z de cada termo a
> partir de uma tabela de transformadas Z...
>
> Somando tudo temos:
>
> x[n] = 91/4 +17/2*n +n^2 +153/4*3^n -56*2^n
>
> Veja que apenas reparando na expressão da
> transformada
> Z, podemos dizer coisas importantes sobre x[n]. No
> caso, X(z) tem pólos fora do círculo de raio
> unitário
> em torno da origem no plano complexo, o que nos
> indica
> que x[n] -> oo quando n->oo.
>
> Outra observação interessante é que usando a
> transformada Z vc pode obter o que se chama de
> função
> de transferência do sistema. Observe que o lado
> esquerdo da sua recorrência representa a influência
> de
> valores passados da sequência na resposta atual.
> Isso
> representa uma "memória" do sistema, ou, para os
> engenheiros, a sua caracterização. Do lado direito,
> vc
> tem a influência da entrada, um valor de excitação
> em
> função de n. Para os engenheiros é importante isolar
> as características do sistema, independentemente da
> entrada. Imagine que vc defina uma outra entrada
> qualquer no seu sistema, expressa como uma função de
> n: E[n]
>
> A sua resposta, em termos de transformada Z seria
> data
> por:
> X(z) = 1/(1 -5/z +6/z^2) * tranfZ{E[n]}
>
> A parte 1/(1 -5/z +6/z^2) permanece e representa um
> comportamento que é característico do sistema. Os
> engenheiros chamam isso de função de transferência.
>
> Mas, como eu disse no início, estou muito, muito
> enferrujado nisso. Se alguém trabalha com DSP na
> lista
> poderá responder com muito mais propriedade, e dar
> alguma referência melhor.
>
> []´s Demétrio
>
>
> --- Rafael <rfa1989@gmail.com> escreveu:
>
> > Qual o metodo que voces usam para resolver
> > recorrencias lineares
> > nao-homogeneas do tipo: a_n*x_n +...+a_0*x_0 =
> P(n)
> > sendo P(n) um polinomio em n.
> > Ex.: x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2
> >
> > Li uma solucao de um problema parecido com esse
> (mas
> > do mesmo formato
> > geral que eu descrevi acima) , onde o autor ao meu
> > ver "chuta" que x_n
> > é da forma x_n = A*n^2 + B*n +C , e substitui nos
> > x_n, x_(n-1), etc do
> > problema.
> > Depois usa identidade de polinomios para
> determinar
> > A,B,C e depois
> > soma essa solucao com a solucao do caso homogeneo
> > (como se o segundo
> > membro fosse zero).
> >
> > Como é que eu vou saber que polinomio devo
> "chutar"
> > para a forma x_n?
> > sera que é sempre um polinomio do mesmo grau que
> > P(n)?
> > ou ha um metodo melhor, para calcular isso?
> >
> > Obrigado.
> > --------------------------------------------------
> > Rafael
> >
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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