Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Marcelo,

A ideia eh que se x é autovalor de A, entao x^k eh autovalor de A^k, pois Au = xu => (A^k)u=(x^k)u. 
Como A^k = 0 e autovetores sao nao nulos, isso significa que x^k=0, ou seja, x=0.

On 2/22/07, Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> wrote:

Olá Marcio,

se A é nilpotente, entao existe k, tal que: A^k = 0
A^k - sI = -sI .... det(A^k - sI) = (-s)^n, onde n é a dimensao de A
assim, o unico autovalor de A^k é 0, pois é o unico que zera (-s)^n...

nao consegui provar que A tem os autovalores nulos =/
dps tento novamente
abracos
Salhab




----- Original Message -----
From: "Marcio Cohen" < marciocohen@majorando.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 19, 2007 5:18 PM
Subject: Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition
2001


Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos
escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 => 1
é autovalor de A (contradição!).

A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal
que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são
todos nulos.

Abraços,
Marcio Cohen

On 2/19/07, Jhonata Ramos <obm.jhon@gmail.com> wrote:
> Pessoal,
> tava olhando essa questão:
>
> Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB
> = A+B. Show that det(B) = 0.
>
> Source VUMC 2001
>
> Vi uma solução que o cara fala o seguinte:
>
> A^2001=0 => A is nipoltent detA=0
> lemma: If X,Y commute, Y nilpotent
> then det(X+Y)=detX
>
> Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :)
> e se o lemma dele ali é verdadeiro,
>
> Forte abraço,
> Jhonata Emerick Ramos
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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