[obm-l] Problemas em aberto

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar que ainda temos (pelo menos) dois problemas em aberto 
na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:

1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.

Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igual a um certo produto infinito, mas nao achei nenhuma formula 
fechada e suspeito que nenhuma exista, a menos que envolva alguma funcao nao elementar - alias, como a serie acima 
converge, ela pode ser usada pra definir uma funcao de (-1,1) -> R.


2. Num espaco metrico compacto, uma sequencia (x(n)) eh tal que lim(n->+inf) dist(x(n+1),x(n)) = 0.
Prove que o conjunto de valores de aderencia de (x(n)) eh conexo. 

Eu provei no caso de (x(n)) ser uma sequencia limitada na reta.
Se x(n) -> a, entao A = conjunto dos valores de aderencia de (x(n)) = {a}, que eh conexo.
Se x(n) nao converge, sejam a = liminf(x(n)) e b = limsup(x(n)).
(a e b existem pois (x(n)) eh limitada e, alem disso, a < b, pois (x(n)) diverge)
Finalmente, seja c tal que a < c < b.
Tomemos eps > 0.
Podemos supor spdg que eps eh pequeno o bastante para que os intervalos (a-eps,a+eps), (c-eps,c+eps) e (b-eps,b+eps) sejam 
disjuntos dois a dois.
Seja k_0 em N tal que k > k_0 ==> |x(k+1) - x(k)| < eps.
Seja m > k_0 tal que x(m) pertence a (a-eps,a+eps).
Seja n o menor inteiro maior do que m tal que x(n) pertence a (b-eps,b+eps).
(m e n existem pois a e b sao limites de subsequencias de (x(n)) )
Eh claro que x(m) < c-eps < c+eps < x(n).
Seja X = {r em N | m <= r <= n  e  x(r) <= c-eps}.
Naturalmente, X eh nao-vazio (m pertence a X) e limitado superiormente (por n, que nao pertence a X, mas isso nao importa).
Seja r = maior elemento de X.
Entao, x(r) <= c-eps < x(r+1) e, portanto, x(r+1) < c+eps, pois se fosse x(r+1) >= c+eps, entao:
|x(r+1) - x(r)| >= 2*eps, o que eh impossivel pois r >= m > k.
Logo, x(r+1) pertence a (c-eps,c+eps).
Ou seja, para cada eps > 0, existe n em N tal que x(n) pertence a (c-eps,c+eps) ==>
c eh um valor de aderencia de (x(n)).
Como c eh um elemento arbitrario de (a,b), concluimos que (a,b) estah contido em A.
Como a = min(A) e b = max(A), concluimos que A = [a,b] = conexo.

***

O probleminha sobre complexos eh o seguinte:
a, b, c sao numeros complexos. Prove que: 
a, b, c sao os vertices de um triangulo equilatero no plano complexo
se e somente se
a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc.


[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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