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Re: [obm-l] Numeros Irracionais

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Tue, 13 Feb 2007 09:47:19 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Faleceu pra voce, matematico ingrato...(rs)
Continua bem vivo no meu coracao e na minha estante na forma do "Irrational Numbers", mencionado abaixo, do "Mathematics of 
Choice (How to Count without Counting)" e do "Introduction to the Theory of Numbers". O segundo eh uma introducao a 
combinatoria enumerativa (mas que nao deve nada a este aqui: http://www.sbm.org.br/livros/cpm/lcpm02.html e, de fato, eh 
um pouco mais elementar e tem bem menos problemas - resolvidos e propostos). No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-
autor) tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os 
famosos:

1. Prove que se a, b e (a^2+b^2)/(1+ab) sao inteiros positivos entao (a^2+b^2)/(1+ab) eh quadrado perfeito.
 
2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] <= x < [x]+1. Prove que, para todo n em N:
[x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n <= [nx]

os quais cairam na IMO.

(*) Elementar e Facil sao duas coisas bem distintas...

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 12 Feb 2007 11:09:42 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais

> O Prof. Ivan Niven, infelizmente, já faleceu.
> Benedito
> 
> ----- Original Message ----- 
> From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <carlos@nehab.net>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, February 11, 2007 10:33 PM
> Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
> 
> 
> > Oi,  jovem Claudio,
> >
> > Textos muito bem escritos, hein (já dei uma boa paquerada).  Ótima dica e 
> > de minha parte, obrigadíssimo.  Atualizou dois "coroas":  eu e o  Ivan 
> > Niven...:-)
> >
> > Grande abraço,
> > Nehab
> >
> > PS: Só ficou uma dúvida:  você foi da turma do Rogério Ponce ou é mais 
> > "jovem"...?
> >
> >
> > At 22:34 11/2/2007, you wrote:
> >>Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e 
> >>transcendentes:
> >>http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
> >>
> >>O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado 
> >>pelo Nicolau.
> >>Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de 
> >>Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n
> >>= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
> >>Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe isso 
> >>eh o justamente incentivo que faltava...
> >>
> >>[]s,
> >>Claudio.
> >>
> >>---------- Cabeçalho original -----------
> >>
> >>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Cópia:
> >>Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
> >>Assunto: [obm-l] Off topic
> >>
> >> > Oi Nicolau,
> >> >
> >> > Eu não ia perder esta oportunidade...
> >> >
> >> > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno
> >> > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam
> >> > sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples
> >> > "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo
> >> > você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)
> >> >
> >> > Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior
> >> > e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto...   Eu
> >> > acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo
> >> > estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...
> >> >
> >> > Abraços
> >> > Nehab
> >> >
> >> > PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar
> >> > mico, é melhor não se manifestar, hein...
> >> >
> >> > At 08:02 10/2/2007, you wrote:
> >> > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> >> > > >
> >> > > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
> >> > > > racional?
> >> > >
> >> > >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
> >> > >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é 
> >> > >algébrico.
> >> > >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
> >> > >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
> >> > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
> >> > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
> >> > >
> >> > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
> >> > >com os a_i distintos e os A_i não nulos então
> >> > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
> >> > >
> >> > >Suponha x algébrico, x não nulo.
> >> > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
> >> > >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
> >> > >Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
> >> > >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
> >> > >contradizendo o teorema.
> >> > >
> >> > >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
> >> > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
> >> > >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros 
> >> > >parecidos
> >> > >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
> >> > >
> >> > >[]s, N.
> >> > >=========================================================================
> >> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> > >=========================================================================
> >> >
> >> > =========================================================================
> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> > =========================================================================
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> >> >
> >>
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> >>=========================================================================
> >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>=========================================================================
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> > -- 
> > No virus found in this incoming message.
> > Checked by AVG Free Edition.
> > Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.36/681 - Release Date: 11/2/2007
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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