Re: [obm-l] Poligono de n lados + Produtorio Trigonometrico

["Carlos Gomes" <cgmat@xxxxxxxxxxxxxx>]

Douglas, ...Os vértices do n-ágono regular incrito neste círculo são ( como
é bem conhecido) as n raízes complexas  da equação algébrica z^n-1=0, que
são justamente os números complexos da forma Zk= cos(2*pi/k) +
i.sen(2*pi/k), onde k=0,1,2,...n-1. Por outro lado,

z^n-1 = (z-1).(z^(n-1) + z^(n-2) +....+1) = 0  ==> z^(n-1) + z^(n-2) +....+1 
= 0  . Chamando Z1=W as raízes de z^(n-1) + z^(n-2) +....+1 = 0 serão W, 
W^2, W^3,....W^(n-1) , pois Z0 = 1 eh raiz de z-1=0. Assim temos que z^(n-1) 
+ z^(n-2) +....+1 = (Z - W).(Z-W^2).  ...  .(Z-w^(n-1)) .

Agora perceba que (P1P2) = módulo(1-W), (P1P3) = módulo(1-W^2), ...,.(P1Pn) 
= módulo(1-W^(n-1)),  logo...

(P1P2)*(P1P3)*(P1P4)*...*(P1Pn) = módulo(1-W).módulo(1-W). 
....módulo(1-W^(n-1)).

tomando o módulo em ambos os membros da igualdade  z^(n-1) + z^(n-2) +....+1 
= (Z - W).(Z-W^2).  ...  .(Z-w^(n-1))  obtemos:

/ z^(n-1) + z^(n-2) +....+1 / = /(Z - W)/./(Z-W^2)/.  ...  ./(Z-w^(n-1)) /. 
Nesta identidade fazendo Z=1 chegamos a

1+1+...+1 = /(Z - W)/./(Z-W^2)/.  ...  ./(Z-w^(n-1)) /   ==> /(Z - 
W)/./(Z-W^2)/.  ...  ./(Z-w^(n-1)) / = n


mas como já vimos (P1P2)*(P1P3)*(P1P4)*...*(P1Pn) = /(Z - W)/./(Z-W^2)/. 
...  ./(Z-w^(n-1)) / = n



Valew,

Cgomes






Uma maneira legal para resolver esse problema é  por um sistema de
coordenadas ortogonal de modo que um dos vetores coincida com um dos eixos.
Dessa forma cada um dos vetores pode ser imaginado como um número complexo
.Sendo Z1, (Z1)^2, (Z1)^3,...(Z1)^(n-1) estes números complexos. Temos que
estes números complexos são as raízes da equação algébrica x^n-




Co----- Original Message ----- 
From: "Douglas Ribeiro Silva" <dougzbr@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, February 06, 2007 3:05 PM
Subject: [obm-l] Poligono de n lados + Produtorio Trigonometrico


Olá a todos!

Gostaria de uma ajuda num problema tirado do maravilhoso livro
Geometria II do Wagner, Morgado e Jorge: Sejam P1, P2, ... , Pn os
vertices de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de
raio 1. Mostre que (P1P2)*(P1P3)*(P1P4)*...*(P1Pn) = n
Após alguns cálculos eu "resolvi" o problema, no entando estou
dependendo de provar a identidade do produtório trigonométrico a
seguir:
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/24/01/0001/MainEq1.L.gif

Alguém teria uma maneira simples de demonstrar essa identidade ou tem
uma boa idéia pra resolver o problema sem usá-la?

Abraços,

Douglas Ribeiro

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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