Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jan 28, 2007 at 01:21:32PM -0200, Carlos Gomes wrote:
> Nicolau, fiquei muito curioso pela resolução da questão abaixo, que foi
> proposta essa semana pelo Cleber aqui ma lista...mas ninguem respondeu...vc
> tem alguma dica para ela? achei o termo
> geral...a(n)=(-1)^n.2^n/binomial(2n,n) , acho que é isso...mas não consegui
> estabelecer a soma...
> 
> Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
> 
> 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + .... será que poderiam me ajudar?

Eu não respondi inicialmente mais ou menos pelo mesmo motivo que o Luiz:
sabia reduzir isto a uma EDO mas no final as contas ficam feias
e não achei que valesse a pena mandar uma solucão incompleta.
Mas como você me pediu pessoalmente, voltei ao problema e vi
que afinal de contas dá para fazer tudo sim.

Tome

z = t - (1*2)/(1*3) t^3 + (1*2*3)/(1*3*5) t^5 - (1*2*3*4)/(1*3*5*7) t^7 + ...
z' = 1 - (1*2)/(1) t^2 + (1*2*3)/(1*3) t^4 - (1*2*3*4)/(1*3*5) t^6 + ...
t^3z = t^4 - (1*2)/(1*3) t^6 + (1*2*3)/(1*3*5) t^8 - (1*2*3*4)/(1*3*5*7) t^10 ..
(t^3 z)' = 2t( (1*2)/(1) t^2 - (1*2*3)/(1*3) t^4 + (1*2*3*4)/(1*3*5) t^6 - ...)
(t^3 z)' = 2t(1-z')
3t^2 z + t^3 z' = 2t - 2t z'

Ou seja, z é a solucão da EDO linear de primeira ordem abaixo:

(t^2 + 2)z' + 3t z = 2, z(0) = 0. 

A equacão homogênea associada é fácil:

zh'/zh = -3/2 * 2t/(t^2 + 2)
zh = (t^2 + 2)^(-3/2)

onde tomo a constante de integracão com um valor arbitrario.
Fazendo a substituicão z = zh * w e substituindo temos

w' = 2 sqrt(t^2+2)
w = t*sqrt(t^2+2) + 2 arcsenh(t/sqrt(2))
z = t/(t^2+2) + 2 arcsenh(t/sqrt(2)) (t^2 + 2)^(-3/2)

que já satisfaz a condicão inicial z(0) = 0.
Aqui arcsenh é a inversa de senh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2,
que pode ser escrita de outra forma, mas não sei se vale a pena.

Em particular, a série pedida originalmente é
z(1) = 1/3 + 2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) ~= .5867819986

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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