[obm-l] RES: [obm-l] Questões de Desigualdades (MA,MH, MG e MQ)

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

	1 - Sejam A, H, G e Q as médias dos n-1 números a1, a2, a3, ..., a(n-1). Queremos mostrar que H<G<A<Q.

	a) Considere os números a1, a2, ..., a(n-1) e G. Pela hipótese, para estes **n** números vale MH < MG < MA. Para não tirar a sua diversão, faça as contas: de MH<MG vai sair H<G e de MG<MA sai G<A. Se quiser detalhes, estão no PS abaixo.

	b) Agora tome a1, a2, ..., a(n-1) e Q e use MA<MQ para estes n números. Vai sair que A<Q.

	2) Considere os números a1=a2=a3=...=an=1+1/n e a(n+1)=1. Usando MA>MG para eles, temos...

	Abraço, Ralph

	P.S. Detalhes de 1): 

	a) MG = (a1a2...a(n-1)G)^(1/n) = (G^(n-1).G)^(1/n) = G

	MA=(a1+a2+...+a(n-1)+G)/n=((n-1)A+G)/n > MG = G, então fazendo as contas, A>G

	MH=n/((n-1)/H+1/G) < MG=G, então, G>H.

	b) Então n(MQ)^2=a1^2+a2^2+...+a(n-1)^2+Q^2=nQ^2, isto é, MQ=Q

	Assim, MA = (a1+a2+...+a(n-1)+Q)/n = ((n-1)A+Q)/n < MQ=Q implica A<Q.

	Detalhes de 2):

	MG = ((1+1/n)^n)^(1/(n+1)) < MA = (n(1+1/n)+1)/(n+1) = (n+2)/(n+1) = 1+1/(n+1).

	Elevando a n+1, sai o que queremos.

	-----Mensagem original----- 
	De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br em nome de Chicao Valadares 
	Enviada: sex 1/5/2007 6:12 
	Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
	Cc: 
	Assunto: [obm-l] Questões de Desigualdades (MA,MH, MG e MQ)
	
	

	1 - Prove que se as desigualdades das médias(MA,MH, MG
	e MQ) é válida p/ "n" naturais diferentes de zero
	então ela é válida p/ "n-1" naturais diferentes de
	zero.
	
	2 - Prove que para todo "n" maior ou igual a "1" a
	desigualdade é sempre é verdadeira:
	(1 + 1/n)^(1/n) < (1 + 1/(n+1))^(1/(n+1))
	, ou seja , a sequencia a_n = (1 + 1/n)^(1/n) é
	estritamente crescente para n natural diferente de
	zero(só p/ lembrar que quando n-> infinito => a_n ->
	"e" mas isso não deve ser usado no problema).
	
	PS1:
	MA -> Media Aritmetica 
	MG -> Media Geometrica
	MH -> Media Harmonica   
	MQ -> Media Quadratica
	
	PS2: A questão 2 eu consegui fazer expandindo o
	binômio mas ela deve ser feita usando as desigualdades
	das médias apenas, coisa que eu não consegui.
	
	Abraços.

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