Re: [obm-l] questão para provar - IME

["Rodrigo Almeida do Amaral" <amaraticando@xxxxxxxxx>]

Pra n=1:  25=5^2
Pra n=2:  1225=35^2
Pra n=3:  112225=335^2
Parece que pra n=k:  1111...12222...225=3333...35^2     (com k-1 algarismos 3)
De fato:  3333...35^2=(3333...0+5)^2=(3333...3*10)^2+2*3333...30*5+5^2=
=(333...3)^2*100+333...3*100+25=100*(333...3^2+333...3)+25  (com k-1 algs 3)
Primeiramente:
3333...3^2={[10^(k-1)-1]/3}^2=[10^(2k-2)-2*10^(k-1)+1]/9=[1000....000-200...00+1]/9=
=[9999...998000...001]/9=111...110888...889    (com k-2 algs 1e 8)
Também:
    1111...1108888...889
         +        3333...333
   __________________
    1111...1112222...222           (com  k-1  algs 1 e2)
Voltando à 100*(333...3^2+333...3)+25:
=100*111...12222...22+25=111...1222...2200+25=111...1222...2225  (com k-1 algs 1 e k algs 2) . Fazendo isso prara todos os k naturais resolvemos o problema.
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"Sempre haverá um Amaraticando!"