Re: [obm-l] construir segmento

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Sergio,

Ah, é root[4]{u^4 + v^4}. Ok, estava me
referindo a isso mesmo (RPM).

Mas o que quero é \sqrt[2]{u^4 + v^4}. Ou
\sqrt{u^4+v^4}. Estou procurando uma construção
sem manipulações algébricas como a sua e sem uso
do segmento unitário. (CONTINUEM A LER, SEI QUE
ISSO NÃO está certo).

Estou resolvendo o problema de construir um triângulo
dados <a,h_a,d_a> onde d_a é a bissetriz interna. Ou
<a,h,d> pra simplificar.

Conheço duas soluções para tal problema e uma outra algébrica
cuja prova dos comprimentos dos segmentos envolvidos depende
(bom, a prova que encontrei) de uma das soluções acima.

O fato é que se x representa o comprimento do segmento D_aD,
onde D_a é o pé da bissetriz interna e D é a interseção da reta
(A,D_a) com o círculo circunscrito, então x(x+p)=q^2 ,
onde p=\frac{d^3}{d^2-h^2} e q=\frac{ad}{2\sqrt{d^2-h^2}} .

As construções para obter-se x são clássicas e o problema está resolvido.

Mas no processo calculei R (raio do círc. circunscrito) e encontrei

R=\frac{d^4-2d^2h^2+d^2\sqrt{a^2(d^2-h^2)+d^4}}
{4h(d^2-h^2)}

Eu sei que dá pra construir R pois construí o triângulo ABC.

Não vou nunca construir realmente R desta maneira mas
gostaria de saber como construir o segmento x tal que
x=\sqrt{a^2(d^2-h^2)+d^4}
onde <a,h,d> são comprimentos "adequados" do lado, altura e
bissetriz interna relativas ao lado a.

Bom, depois de escrever tudo isso acho que sei como fazer:

x = a\sqrt{(d^2-h^2)+d^4/a^2} =
a\sqrt{[\sqrt{(d+h)(d-h)}]^2 + (d^2/a)^2}

e x está construído. O fato de se tirar a^2 para fora da
raiz muda tudo.

Voltando ao que escrevi no começo: Mas o que quero é
\sqrt[2]{u^4 + v^4}. Ou \sqrt{u^4+v^4}. Estou procurando
uma construção sem manipulações algébricas como a sua e
sem uso do segmento unitário

Isso não é possível. Quis mandar um problema simplificado
e escrevi bobagem. Ainda bem que não perdi muito tempo
com ele.

[]'s
Luis


>From: Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] construir segmento
>Date: Tue, 2 Jan 2007 15:19:17 -0200 (BRST)
>
>
>oi Luis,
>
>A construcao correta eh do segmento
>x = \sqrt[4]{u^4 + v^4}
>o que torna o problema homogeneo.
>
>Eh na RPM no 8 num artigo do Elon (Sobre um problema da olimpiada).
>Ele cita uma professora que deu uma solucao muito elegante, e ainda
>a solucao de um aluno que dependeria da unidade.
>
>Eu fiz uma solucao alternativa, muito algebrica, mas ai vai:
>
>x = \sqrt[4]{u^4+v^4}
>   = \sqrt[4]{(u^2+v^2)^2 - 2a^2b^2}
>   = \sqrt[4]{(u^2+v^2-uv\sqrt{2})(u^2+v^2+uv\sqrt{2})}
>   = \sqrt{ab}
>
>onde
>
>a = \sqrt{(u-v\sqrt{2}/2)^2+(v\sqrt{2}/2)^2}
>b = \sqrt{(u+v\sqrt{2}/2)^2+(v\sqrt{2}/2)^2}
>
>Logo, segue-se a construcao:
>
>i) Determine x1 = v\sqrt{2}/2
>ii) Construa o triangulo retangulo de catetos (u-x1) e x1,
>gerando a hipotenusa de valor a
>iii) construa o triangulo retangulo de catetos (u+x1) e x1,
>gerando a hipotenusa de valor b
>iv) Determine x, media geometrica de a e b
>
>Esta solucao nao eh muito elegante. A indicada na RPM
>eh muito mais.
>
>Abraco,
>sergio
>

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