Re: [obm-l] Seqüência de méd ias aritméticas e geométricas

["Ronaldo Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

Olá Bruno, parece interessante mesmo.

   Acho que você pode fazer uma analogia com sistemas dinâmicos unidimensionais:

   So que neste caso o ponto fixo é um vetor de dois componetes.

  Você na verdade quer (x*,y*) tal que:

 

    (x*, y*)  =  f (x*,y*)

 

   onde f = (f_1(x,y), f_2(x,y) ) é uma função vetorial cujas componetes dada por

   f_1(x,y) = sqrt(x,y)  e f_2 = (x+y)/2 ou seja:

 

    f(x,y) = ( sqrt(x,y) , (x+y)/2 )

 

    A solução é simplesmente a solução do sistema.

 

    (x*,y*) = ( sqrt(x*,y*) , (x*+y*)/2 )

 

 

  ou

 

     x* = sqrt(x*,y*)

     y* =    (x*+y*)/2

 

   ok.  Mas você primeiro itera em x e depois em y e não em x e y simultaneamente, vc poderia

argumentar.  Tudo bem:  As propriedades de convergência para um mesmo valor não são

alteradas você concorda?

 

  Ronaldo.

 

 

On 12/12/06, Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:

Olá a todos. Há algum tempo imaginei um problema que tentei resolver mas não consegui. Eu achei interessante, e gostaria de compartilhar:

Sejam a_0, b_0 reais positivos não nulos. Defina as seguintes seqüências:

a_i = sqrt(a_(i-1) * b_(i-1))
b_i = 1/2 * (a_(i-1) + b_(i-1))

Isto é: a seq. a é das médias geometricas dos 2 termos anteriores de cada seq. a e b.
A seq. b é a das médias aritméticas dos termos anteriores das seqs. a e b.

Provar que ambas convergem, e para o mesmo valor, é simples. Agora a questão que não quer calar: qual é o limite destas seqüências, em função apenas dos termos iniciais?

Abraço,
Bruno

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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
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e^(pi*i)+1=0

-- 
Ronaldo Luiz Alonso
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Computer Engeener 
LSI-TEC/USP - Brazil.