RE: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

[Paulo Santa Rita <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola carissimo artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O Ronaldo Alonso estava com a mesma duvida  e eu enviei um esclarecimento mas nao deve ter chegado na lista. Quando eu disse que se N nao e potencia de 2 entao N e da forma (2^P)*i com P INTEIRO NAO-NEGATIVO e "i" um impar maior que 1 estou admitindo P=0 para incluir todos os impares. Exemplo : N=13 => N=(2^0)*13 ; N=28 => N=(2^2)*7.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,1100,051206

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> From: artur.steiner@mme.gov.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Date: Tue, 5 Dec 2006 10:34:55 -0200
> 
> Oi Paulo,
> Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares?
> A prova que eu encontrei foi a seguinte:
> Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3.
> Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a prova.
> Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na base decimal,  algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5.
> Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 (considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar >1, sendo portanto potencia de 2. Isso conclui a prova.
> Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte:  Para todo n=1,2,3...., n! eh divisivel por 2,3.....n. Entao, nenhum destes numeros divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que vimos, não se enquadra nenhum primo <= n. Logo, para todo n existe um primo p >n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto, infinito.
> Abracos
> Artur
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Paulo Santa Rita
> Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Ola carissimo Artur e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i" um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i  + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel  por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois  sendo "i" impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim :  M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X)   =>  M nao e primo  ... ABSURDO  !
> A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que  a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.
> Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês :
> EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :
> Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ... < pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide  P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO !
> A todos,  com  os melhores
> votos de paz profunda, sou
> Paulo Santa Rita
> 1,1540,041206
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> From: artur.steiner@mme.gov.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200
> Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem bonitinho.
> Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2....for primo, entao n eh potencia de 2
> Artur
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