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RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Oi Paulo,
Vc nao tinha
que considera tambem os numeros impares?
A prova que
eu encontrei foi a seguinte:
Suponhamos
que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3.
Para n=1,
a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum impar n, a(n)
seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que a(n+2) = 2^(n+2) +
1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, pela hipotese indutiva,
3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a prova.
Suponhamos
agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. Uma outra
possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da forma n=2k,
com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na base
decimal, algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo
das unidades 5, sendo portanto divisivel por
5.
Vemos assim
que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, entao n=1 = 2^0 ou
n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 (considerando-se 1 como potencia 0
de 2). Nos casos acima, outros valores de n levam a numeros compostos.
Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos casos acima, entao n eh par e
não eh multiplo de nenhum impar >1, sendo portanto potencia de 2. Isso
conclui a prova.
Uma outra
prova da infinitude dos primos eh a seguinte: Para todo n=1,2,3...., n! eh
divisivel por 2,3.....n. Entao, nenhum destes numeros divide n! + 1. Pelo
teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser representado por um produto
de primos, dentre os quais, em virtude do que vimos, não se enquadra nenhum
primo <= n. Logo, para todo n existe um primo p >n, do que concluimos
que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto,
infinito.
Abracos
Artur
Ola carissimo Artur e
demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Seja M um primo tal que M =
(2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma :
(2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i" um impar maior que 1. Segue
daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M =
X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do
teorema D'Alembert, pois sendo "i" impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim
: M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) => M nao e primo
... ABSURDO !
A nossa tese e portanto insustentavel e somos
obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui
outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler
resolve ) Mostre que a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no
anel dos inteiros.
Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a
alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que
esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o
doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia
Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver
uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou
uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês
:
EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :
Suponha que a quantidade de
numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ... < pn. Consideremos
agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O
numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide P - 1.
Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO
!
A todos, com os melhores
votos de paz profunda,
sou
Paulo Santa Rita
1,1540,041206
From: artur.steiner@mme.gov.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject:
[obm-l] Problema de teoria dos numeros
Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35
-0200
Achei
este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem
bonitinho.
Mostre
que, se 2^n +1, n=0, 1,2....for primo, entao n eh potencia de
2
Artur
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