RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

[Paulo Santa Rita <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i" um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i  + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel  por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois  sendo "i" impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim :  M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X)   =>  M nao e primo  ... ABSURDO  ! 

A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que  a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.

Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês :

EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :

Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ... < pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide  P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO !

A todos,  com  os melhores
votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
1,1540,041206

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From: artur.steiner@mme.gov.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200

Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem bonitinho.

 

Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2....for primo, entao n eh potencia de 2 

 

Artur

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