RE: [obm-l] distribuicao binomial

[Paulo Santa Rita <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola caríssimo Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

METODO 1

Nao entendi exatamente o que voce quer, mas, em todo caso, considere o Triangulo Aritmetico abaixo, conhecido como Triangulo de Leibniz :

N=0 : 1
N=1 : 1/2,  1/2
N=2 : 1/3,  1/6, 1/3
N=3 : 1/4,  1/12, 1/12, 1/4
...

Neste triangulo a coluna mais a esquerda e a sequencia 1, 1/2, 1/3, ... e qualquer outro termo e a diferenca entre o termo E que esta a sua esquerda e o termo F que esta imediatamente acima deste ultimo. Exemplificando : 1/6 =1/2 - 1/3 ; 1/3=1/2 - 1/6. Usando esta regra de construcao e facil ver que qualquer coluna e uma soma telescopica dos termos da coluna imediatamente a esquerda, vale dizer, qualquer termo e a soma da serie infinita formada pela coluna imediatamente a direita e abaixo do termo.

Exemplo : 1/2 = (1/2 -= 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ...  =>  1/2 = 1/6  +  1/12  + 1/20  +  ...

Observe agora que se voce multiplicar qualquer termo do Triangulo de Pascal pelo correspondente ( mesma posicao ) termo do Triangulo de Leibniz voce obtera sempre o inverso da linha onde eles se situam ... E facil provar isso, mas nao vamos perder tempo com estas trivialidade. O que importa e que :

Pn,m * Ln,m = 1/n  => Pn,m = 1/n*[(Ln,m)^(-1)]

onde "n" e a linha e "m" a coluna, numerada da esquerda para a direita a partir de zero. Como ja vimos acima que Ln,m pode ser expresso como a soma de uma particular serie, segue que podemos aproximar os termos do triangulo pascalino tanto quanto quisermos

METODO 2

Usando a formula de stirling voce pode obter uma boa aproximacao de N!. Como cada termo do triangulo de Pascal pode ser expresso por uma combinacao classica e bem conhecida de fatorias, segue que tal formula permite obter uma boa aproximacao dos termos do triangulo de Pascal

METODO 3

Usando a recorrencia : A(N,0) =1, N inteiro nao negativo qualquer e A(N,M) =A(0,M-1) + A(1,M-1) + ... + A(N-1,M-1) para qualquer  0 < M <= N 

Eu sinto a existencia de um quarto metodo mas a ideia nao esta chegando com suficiente clareza na minha cabeca e portanto vou parar por aqui.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
4,2143,291106

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> Date: Wed, 29 Nov 2006 16:16:47 -0200
> From: sergioln@lps.ufrj.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] distribuicao binomial
> 
> 
> Caros colegas da lista,
> Desculpem-me se esta pergunta jah apareceu antes.
> Dei uma pesquisada, mas nao achei nada, ateh pq os
> arquivos sao realmente grandes.
> 
> Os coeficientes do binomio de Newton sao
> 
> n=0: 1
> n=1: 1, 1
> n=2: 1, 2, 1
> n=3: 1, 3, 3, 1
> n=4: 1, 4, 6, 4, 1
> ...
> 
> Existe alguma funcao que aproxima estes valores para um dado n
> (em particular para n suficientemente grande)?
> Ou seja, para n=1.000.000, por exemplo, teria alguma funcao que
> funcionaria como uma aproximacao/estimativa
> (nao necessariamente inteira) dos coeficientes
> da respectiva linha?
> 
> Agradeco de antemao pela ajuda.
> Abraco,
> sergio
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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