RES: [obm-l] ajuda em probabilidade (e mais!)

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Fabio Silva
Enviada em: sábado, 25 de novembro de 2006 20:42

Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 4 brancas. Ao se
retirar simultaneamente 5 bolas ao acaso, qual a
probabilidade de se obter 3 bolas vermelhas?
-----Fim da mensagem-----

Seja V o número de bolas vermelhas da extração.

Se a pergunta for "Pr(V=3)", eu gosto de fazer assim:
Um caso favorável é escolher 3 bolas vermelhas dentre as 7, e então 2 bolas brancas das 4.
Assim, há C(7,3).C(4,2) casos favoráveis (***igualmente prováveis***).
Há C(11,5) casos totais (***igualmente prováveis***).
Então Pr(V=3) = C(7,3).C(4,2)/C(11,5) = 5/11 = 45.45% seria a resposta.
---///---
Pelo raciocínio do Qwert (ajustado como você disse):
Primeira bola vermelha: 7/11
Segunda bola vermelha: 6/10
Terceira bola vermelha: 5/9
Quarta bola, primeira branca: 4/8
Quinta bola, segunda branca: 3/7
Assim, probabilidade de tirar VVVBB ***NESTA ORDEM***: (7x6x5)x(4x3)/(11x10x9x8x7)=1/22
Mas há C(5,3)=10 ordens possíveis para tirar 3 bolas vermelhas e 2 brancas! Se você acreditar que cada uma destas ordens tem a mesma probabilidade (é, né?), então a resposta é
Pr(V=3) = C(5,3)*(1/22) = 10/22 = 5/11
---///---
Vamos calcular logo a fórmula geral para Pr(V=k). Com o raciocínio acima é rápido:
Escolha k dentre 7 bolas vermelhas; escolha as outras (5-k) dentre as 4 brancas.
Há C(7,k).C(4,5-k) casos favoráveis igualmente prováveis.
Há C(11,5) casos totais, igualmente prováveis.
Então Pr(V=k) = C(7,k).C(4,5-k)/C(11,5). Chame isto de p(k).

Fazendo a contalhada toda no braço mesmo, temos
(p(0),p(1),p(2),p(3),p(4),p(5))=(0,1/66,2/11,5/11,10/33,1/22)

Por extenso:
não dá para ter 0 vermelhas e 5 brancas (duh! só tinha 4 brancas!)
temos 1/66 de chance de ter 1 bola vermelha e 4 brancas
temos 2/11=12/66 de chance de ter 2 bolas vermelhas e 3 brancas
temos 5/11=30/66 de chance de ter 3 vermelhas e 2 brancas
temos 10/33=20/66 de chance de ter 4 vermelhas e 1 branca
temos 1/22=3/66 de chance de ter 5 vermelhas

Note que a soma destas probabilidades dá, de fato, 1, como tinha de ser.
Com este canhão em mãos, agora eu ataco o problema "pelo menos 3 bolas vermelhas":
Pr(V>=3)=p(3)+p(4)+p(5)=53/66=80.30%
---///---
	A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA:
	Quer saber mais? Esta função p(k) é chamada de **distribuição hipergeométrica** de parâmetros 7, 5 e 11. Exercícios:

i) Escrever a fórmula geral para p(k) quando os parâmetros são n, r e N. Em outras palavras:
"Numa urna há n bolas vermelhas e N-n bolas brancas. Retiram-se, ao acaso e sem reposição, r bolas dessa urna. Qual a probabilidade de haver exatamente k bolas vermelhas retiradas?"

Resp.: C(n,k).C(N-n,r-k)/C(N,r). Eu chamo isto de Hip(k;n,r,N).

ii) Há 6 times paulistas num campeonato com 20 clubes IGUALMENTE BONS onde 4 serão rebaixados. Qual a probabilidade de 2 ou mais paulistas serem rebaixados?
Resp.: Hip(2;6,4,20)+Hip(3;6,4,20)+Hip(4;6,4,20) ou 1-Hip(0;6,4,20)-Hip(1;6,4,20) = 34.26%
(Não faz diferença se trocar o 6 e o 4 do meio)

iii) Retire 5 cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a chance de ter exatamente 4 cartas de ouros? E 5 cartas de ouros?
Resp.: Hip(4;13,5,52) = 143/13328 = 1.0729%; Hip(5;13,5,52)= 33/66640 = 0.04952%
(Isto significa que a chance de receber de cara exatamente 4 cartas do mesmo naipe no pôquer é 4(143/13328)=4.2896%; o "Flush potencial" não é tão raro!)

iv) Eu faço um jogo da sena com 10 dezenas. Como você sabe, a sena tem 60 dezenas possíveis das quais 6 serão sortedas. Qual a chance de eu acertar uma quadra? Uma quina? Uma sena?
Resp.: Hip(4;10,6,60)=0.5138%; Hip(5;10,6,60)=0.02517%; Hip(6;10,6,60)=0.0004194%
(E pode trocar o 10 pelo 6, não muda nada: tanto faz pensar que você escolheu 10 para serem vermelhas e eles retiraram 6 da urna, ou que você retirou 10 da urna e *eles* pintaram 6 de vermelho)

v) Mostre algebricamente que Hip(k;n,r,N)=Hip(k;r,n,N). Em outras palavras, a ordem em que você escreve os parâmetros n e r não importa. Você consegue um argumento combinatório/probabilístico para justificar isto?

Abraço,
	Ralph

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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