[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06

["lponce" <lponce@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Raul,

Vaai abaixo  uma sugestão:

Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0.

Das relações de Girard (ou viete).  x1+x2+....x100  = 600.

Do teorema da decomposição,  p(x) = (x-x1)(x-x2)......(x-x100).Portanto,

p(7) = (7-x1)(7-x2)......(7-x100).

Nestas condições, provemos que:  

se P(7)> 1, então existe ao menos uma raiz xi   maior que 7.

demonstração (  Redução ao absurdo)

 

Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100)

seja maior que 7. Assim, 7- xi > 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever:

  [ (7-x1) + (7-x2) + ....+ (7-x100) ] /100 >= [ f(7) ] ^ (1/100)

dai,  [  (700 - 600)/100   ] ^100  > = f(7), isto é,  f(7) < = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) > 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque  7 - x k < =0,  como  xk é diferente de 7,pois p(7)>1,  conclui-se que xk > 7,  finalizando a demonstração pedida.

 

Um abraço

do amigo  PONCE

desculpe-me por qualquer engano  ..

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200

Assunto:

[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06

>     Boa tarde!

>  

>     Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e  possua 100 raízes reais e que p(7)>1.

>     Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7.

>  

>     Agradeço a ajuda,

>  

>         Raul

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[]a, L.PONCE.