[obm-l] Re:[obm-l] Polinômio - Facamp06

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Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200

Assunto:

[obm-l] Polinômio - Facamp06

> Boa tarde!

> Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)>1.

> Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7.

Chame as raízes de a_1 >= a_2 >= ... >= a_100.

Então, p(x) = (x - a_1)(x - a_2)...(x - a_100).

Temos que provar que a_1 > 7.

p(7) = (7 - a_1)(7 - a_2)....(7 - a_100) > 1

Como p(7) <> 0, nenhuma raiz pode ser igual a 7.

Suponhamos que a_1 < 7 (o que implica que todas as raízes são < 7).

Então, cada fator em p(7) é positivo.

Girard ==> a_1 + a_2 + ... + a_100 = 600 ==>

(7 - a_1) + (7 - a_2) + ... + (7 - a_100) = 700 - 600 = 100 ==>

((7 - a_1) + (7 - a_2) + ... + (7 - a_100))/100 = 1.

Mas p(7)^(1/100) = ((7 - a_1)(7 - a_2)....(7 - a_100))^(1/100) > 1 ==>

contradição à desigualdade MG <= MA aplica aos números (7 - a_k) ==>

a_1 >= 7

[]s,

Claudio.