Re: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

[Ronaldo Luiz Alonso <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

claudio.buffara wrote:
> R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e nao-degenerados.
> Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
> Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos compactos disjuntos e nao-degenerados.
> No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos (tome um racional em cada um deles).
> Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 em R.
>
>   
   Gostei da prova porque é bastante intuitiva.  Você deve conhecer as 
curvas de
Peano.  Elas foram uma tentativa de achar
uma função contínua e bijetiva de R em R^2 (você provou neste exemplo 
que não existe
uma injetiva de um intervalo de R em R^2). 
    Não existe obviamente uma função bijetiva de um intervalo de R em um 
retângulo de R^2
porque o infiinito de R^2 é maior que o de R (um tem cardinalidade c^2 e 
outro tem cardinalidade
c, respectivamente).    Vi uma prova uma vez desse fato no livro de 
topologia do Lipschutz .
Dá uma olhada neste link computacional que usa uma função recursiva para 
desenhar esse tipo de
curva.  

     http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/generate/peano.html

> O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto pelo Artur.
>
> ***
>
> Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
> Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma bijecao continua.
> Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?
>   
   Comecei imaginando por exemplo uma bijeção de [0,1] em [0,1].  O que 
vale para essa
bijeção entre esses dois intervalos deve valer para outros.  Podemos 
identificar  cada
elemento de [0,1] com uma sequencia infinita:
  
     0.c_1 c_2 c_3 c_4 ...   <==>  s = {c_1,c_2,c_3,...}

onde os c_i são números de 0 a 9.  

   Podemos facilmente concluir assim que trocando elementos da sequencia 
(ex: c_1 por c_4, etc)
podemos obter uma bijeção, mas ela não será contínua.  Para ser 
contínua, pontos vizinhos
tem que ser levado em pontos vizinhos, então só poderemos trocar pontos 
finais da sequência.

   Caso contrário, não poderemos sempre encontrar sempre qualquer
 eps> 0 tal que se  |x-x_1| < delta então   | f(x) - f(x_1)| < eps.

   Cada permutação de elementos da sequência gera uma outra sequência. 
Assim  formando
um conjunto de permutações com os n primeiro elementos da sequência 
original obtemos
n! funções (não necessáriamente contínuas).  De fato podemos notar que a 
única função contínua
é a identidade   porque não temos ainda a permutação que inverte todos 
os elementos porque nosso
n ainda é finito.
    Agora supomos que n vá para o infiinito.  Teremos n! funções e duas 
que são contínuas
a identidade e a que inverte todos os elementos.  Bom... não sei se isso 
convence mas acho
que a resposta a pergunta do Cláudio é SIM.

[]s
  Ronaldo.


> []s,
> Claudio.
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>   

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