Re: [obm-l] Magreza, densidade, medida e enumerabilidade

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Um outro aspecto interessante é que sinificância topológica tem pouco ou nada a ver com significância em termos de medida. Por exemplo, na reta real, para todo eps >0 podemos encontrar conjuntos abertos, logo topologicamente significantes, mas que  tenham medida < eps. E podemos encontrar conjuntos magros, logo topologicamente insignificantes, mas que tenham medida infinita. Mais ainda, existem conjuntos magros com medida cheia, isto eh, o complementar tem medida nula. 

O que se pode afirmar sobre conjunto das descontinuidades de uma derivada em um intervalo aberto eh que eh magro. Pode ser denso (desfazendo mais uma vez o equivoco de minha outra mensagem), pode ter medida positiva, pode ter medida cheia em todo subintervalo. Pode ainda ter complemento com dimensao de Hausdorff nula. Mas não pode conter um intervalo aberto não vazio. 

Medida nula torna um conjunto insignificante na teoria de Lebesgue, porque a integral sobre eles de qualquer funcao mensuravel eh nula. Na teoria de Lebesgue, a integral em [0,1] da funcao caracteristica dos racionais eh nula, pois os racionais tem medida nula. E a integral da funcao caracteristica dos irracionais eh 1.

Artur



----- Original Message ----
From: claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, November 9, 2006 7:46:52 AM
Subject: [obm-l] Magreza, densidade, medida e enumerabilidade


> 
E nem com enumerabilidade: K, o conjunto de Cantor tradicional, e nao enumeravel a, apesar disso, nao e denso em nenhum 
subconjunto aberto de R (ou seja, se A e qualquer aberto em R, entao A contem um intervalo aberto que nao intersecta K). Basta ver 
que, como K e fechado e A e aberto, A-K e aberto e, portanto, contem um intervalo aberto. Por outro lado, Q e enumeravel mas denso 
em R. Ambos sao magros (ou seja, sao cobertos por uma colecao no maximo enumeravel de fechados com interior vazio: K e coberto 
por ele mesmo e Q = Uniao(r em Q) {r}).

E interessante que existem (pelo menos) tres definicoes de subconjunto "INSIGNIFICANTE" de R:
- enumeravel;
- de medida zero;
- magro.

Enumeravel implica em medida zero e magro.
K eh nao-enumeravel mas tem medida zero e eh magro.
O conjunto dos numeros de Liouville tem medida zero mas seu complementar (o conjunto dos numeros diofantinos) eh magro. Ambos 
sao nao-enumeraveis.
Para definicoes e demonstracoes, veja:
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

Existe tambem o conceito de subconjunto de conteudo nulo: aquele que pode ser coberto por uma quantidade finita de intervalos abertos 
cuja soma dos comprimentos pode ser tomada arbitrariamente pequena. Naturalmente, conteudo nulo implica medida zero, mas a 
reciproca nao e verdadeira. Exemplo: Q inter I, onde I e qualquer intervalo nao degenerado.


> Já que você citou o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do livro
> ¨Aplicações da Topologia à Análise" de Hönig, C. S. (Projeto Euclides), lá
> existe muito material sobre este assunto.
>
Infelizmente estah esgotado, mas o "Espacos Metricos" do Elon tambem tem muita coisa interessante...

[]s,
Claudio.


> Manuel Garcia
> 
> 
> 
> >Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais
> > e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x =   >p/q (com p inteiro, q
> > natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e
> > derivada de funcao alguma, pois  > sua imagem esta contida em [0,1] mas so
> > contem 0 e racionais da forma 1/q.
> >
> > Exato.
> >
> > >Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n)
> > dada
> > por:
> > >f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso
> > contrario.
> > >So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que
> > (h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se
> > >convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi,
> > o
> > conjunto de valores de aderencia da sequencia   >  (h_n(x)) e o intervalo
> > [0,1]).
> >
> > > Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma
> > outra area da matematica...
> >
> > Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu ateh uma prova
> > para
> > um caso menos restrito em que admitiu apenas a existencia das derivadas de
> > Dini. Aquela prova que eu dei, na qual consegui relacionar fatos de varia
> > areas da matematica, alguns nao gostam porque a julgam anti-natural, pois
> > envolve conceitos nao muito conhecidos por quem nao estuda um pouquinho
> > mais.
> >
> > Artur
> >



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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