[obm-l] Magreza, densidade, medida e enumerabilidade

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> Q (o conjunto dos números racionais) é  magro, tem interior vazio
e medida zero,
> como qualquer subconjunto enumerável  de R, e é mais ou menos trivial o fato
> de Q ser denso em R.
> 
> Densidade não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com o
> conceito de magro, nem com o conceito de conjunto de medida zero!
> 
E nem com enumerabilidade: K, o conjunto de Cantor tradicional, e nao enumeravel a, apesar disso, nao e denso em nenhum 
subconjunto aberto de R (ou seja, se A e qualquer aberto em R, entao A contem um intervalo aberto que nao intersecta K). Basta ver 
que, como K e fechado e A e aberto, A-K e aberto e, portanto, contem um intervalo aberto. Por outro lado, Q e enumeravel mas denso 
em R. Ambos sao magros (ou seja, sao cobertos por uma colecao no maximo enumeravel de fechados com interior vazio: K e coberto 
por ele mesmo e Q = Uniao(r em Q) {r}).

E interessante que existem (pelo menos) tres definicoes de subconjunto "INSIGNIFICANTE" de R:
- enumeravel;
- de medida zero;
- magro.

Enumeravel implica em medida zero e magro.
K eh nao-enumeravel mas tem medida zero e eh magro.
O conjunto dos numeros de Liouville tem medida zero mas seu complementar (o conjunto dos numeros diofantinos) eh magro. Ambos 
sao nao-enumeraveis.
Para definicoes e demonstracoes, veja:
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

Existe tambem o conceito de subconjunto de conteudo nulo: aquele que pode ser coberto por uma quantidade finita de intervalos abertos 
cuja soma dos comprimentos pode ser tomada arbitrariamente pequena. Naturalmente, conteudo nulo implica medida zero, mas a 
reciproca nao e verdadeira. Exemplo: Q inter I, onde I e qualquer intervalo nao degenerado.


> Já que você citou o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do livro
> ¨Aplicações da Topologia à Análise" de Hönig, C. S. (Projeto Euclides), lá
> existe muito material sobre este assunto.
>
Infelizmente estah esgotado, mas o "Espacos Metricos" do Elon tambem tem muita coisa interessante...

[]s,
Claudio.

 
> Manuel Garcia
> 
> 
> 
> >Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais
> > e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x =   >p/q (com p inteiro, q
> > natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e
> > derivada de funcao alguma, pois  > sua imagem esta contida em [0,1] mas so
> > contem 0 e racionais da forma 1/q.
> >
> > Exato.
> >
> > >Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n)
> > dada
> > por:
> > >f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso
> > contrario.
> > >So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que
> > (h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se
> > >convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi,
> > o
> > conjunto de valores de aderencia da sequencia   >  (h_n(x)) e o intervalo
> > [0,1]).
> >
> > > Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma
> > outra area da matematica...
> >
> > Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu ateh uma prova
> > para
> > um caso menos restrito em que admitiu apenas a existencia das derivadas de
> > Dini. Aquela prova que eu dei, na qual consegui relacionar fatos de varia
> > areas da matematica, alguns nao gostam porque a julgam anti-natural, pois
> > envolve conceitos nao muito conhecidos por quem nao estuda um pouquinho
> > mais.
> >
> > Artur
> >



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================