[obm-l] Re:[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

Aqui vai uma usando trigonometria. Serve?

Sejam O = (0,0) e A = (1,0).

Chamando o ângulo POQ de 2t, teremos:

Triângulo POQ isósceles ==> OPQ = OPR = 90-t.

Triângulo POR é retângulo em O ==> ORP = t.

Logo, OR = OP*ctg(t) = r*ctg(t).

Triângulo AOQ é isósceles ==> AOQ = AQO = 90-2t ==> OAQ = 4t ==>

OQ/OA = 2*sen(2t) = r/1 ==> r = 2*sen(2t) ==>

OR = 2*sen(2t)*ctg(t) = 4*sen(t)*cos(t)*cos(t)/sen(t) = 4*cos^2(t).

r -> 0 ==> sen(2t) -> 0 ==> t -> 0 ==> OR -> 4.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

> Caros colegas da lista,

> Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte

> desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado

> em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando

> geometria simples. Aliás o legal desse problema foi

> justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a

> solução geométrica.

> "Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e

> outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e

> centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de

> intersecção superior das circunferências e R é o ponto de

> intersecção da reta PQ com o eixo x.

> O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando

> r--->0+?"

> [],

> Marcelo Cruz

> (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática)