[obm-l] Re:[obm-l] Limite interessantissimo (2a edi��o)

Aqui vai uma usando trigonometria. Serve?

Sejam O = (0,0) e A = (1,0).

Chamando o �ngulo POQ de 2t, teremos:

Tri�ngulo POQ is�sceles ==> OPQ = OPR = 90-t.

Tri�ngulo POR � ret�ngulo em O ==> ORP = t.

Logo, OR = OP*ctg(t) = r*ctg(t).

Tri�ngulo AOQ � is�sceles ==> AOQ = AQO = 90-2t ==> OAQ = 4t ==>

OQ/OA = 2*sen(2t) = r/1 ==> r = 2*sen(2t) ==>

OR = 2*sen(2t)*ctg(t) = 4*sen(t)*cos(t)*cos(t)/sen(t) = 4*cos^2(t).

r -> 0 ==> sen(2t) -> 0 ==> t -> 0 ==> OR -> 4.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Limite interessantissimo (2a edi��o)

> Caros colegas da lista,

> Resolvi estrear minha participa��o aqui propondo o seguinte

> desafio: uma nova solu��o para o seguinte problema postado

> em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando

> geometria simples. Ali�s o legal desse problema foi

> justamente que a solu��o anal�tica me incentivou a buscar a

> solu��o geom�trica.

> "Imaginem uma circunfer�ncia C1 com equa��o (x- 1)�+y�=1 e

> outra circunfer�ncia C2, a ser encolhida, com raio r e

> centro na origem. P � o ponto (0,r) , Q � o ponto de

> intersec��o superior das circunfer�ncias e R � o ponto de

> intersec��o da reta PQ com o eixo x.

> O que acontecer� com R quando C2 encolher, isto �, quando

> r--->0+?"

> [],

> Marcelo Cruz

> (Filho pr�digo das Olimp�adas de Matem�tica)