[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 3 Nov 2006 10:37:27 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica?

>  > Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x)
> + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para
> resolver essa
> 
>  
> Se vc admtir que f nao eh identicamente nula e eh derivavel em pelo menos um
> elemento de R, ai sim f eh a funcao eh a logaritmica
>  
>  
E se supusermos apenas que f:(0,+inf) -> R e continua e tal que f(b) = 1, para algum b > 0?

Nesse caso, temos (sem supor continuidade):
f(x) = f(1x) = f(1) + f(x) ==> f(1) = 0.
0 = f(1) = f(x*1/x) = f(x) + f(1/x) ==> f(1/x) = -f(x)
f(x^n) = nf(x) (por inducao; n em N) ==> (deducoes faceis) f(x^r) = rf(x) (r em Q)

A = {b^r | r em Q} e denso em (0,+inf) 
Dem:
Dado o intervalo (p,q) contido em (0,+inf), tome:
b > 1 ==> r entre log_b(p) e log_b(q) ou simplesmente r < log_b(q) se p = 0;
b < 1 ==> r entre log_b(q) e log_b(p) ou simplesmente r > log_b(q) se p = 0.
Em qualquer caso, teremos p < b^r < q.

Seja a funcao logaritmo na base b ==> log_b: (0,+inf) -> R.
Para todo r em Q, f(b^r) = rf(b) = r = log_b(b^r) ==> f e log_b coincidem em A.
Como f eh continua e A e denso em (0,+inf), f = log_b em (0,+inf).

[]s,
Claudio.




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