[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

>Mas sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua
num subconjunto denso no seu dominio?
>Como derivadas tem a propriedade do valor intermediario, as
descontinuidades duma tal funcao (caso exista) devem ser do tipo >zig-zag.

Não, não existe não. Toda derivada definida em um intervalo aberto, limitado
ou não, é o limite de uma sequencia de funcoes continuas. Há um teorema da
Analise/Topologia que diz que, se g eh o limite de uma sequencia de funcoes
continuas definidas  num espaco de Baire e com valores em R, entao o
conjunto das descontinuidades de g eh magro na classificacao de Baire, o que
implica que tenha interior vazio. Logo, o conjunto das descontinuidades de
uma derivada tem sempre interior vazio e, portanto, nunca eh denso. Deve ser
possivel chegar a esta conclusao, de forma talvez mais natural, com base na
propriedade do valor intermediario



>Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais
e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x =   >p/q (com p inteiro, q
natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e
derivada de funcao alguma, pois  > sua imagem esta contida em [0,1] mas so
contem 0 e racionais da forma 1/q.

Exato. 

>Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n) dada
por:
>f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso
contrario.
>So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que
(h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se 
>convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi, o
conjunto de valores de aderencia da sequencia   >  (h_n(x)) e o intervalo
[0,1]).

> Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma
outra area da matematica...

Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu ateh uma prova para
um caso menos restrito em que admitiu apenas a existencia das derivadas de
Dini. Aquela prova que eu dei, na qual consegui relacionar fatos de varia
areas da matematica, alguns nao gostam porque a julgam anti-natural, pois
envolve conceitos nao muito conhecidos por quem nao estuda um pouquinho
mais.

Artur  

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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