Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos

2006/10/31, J. Renan < jrenan@gmail.com>:

Ok, obrigado Iuri, Nehab e Salhab!

Salhab encontrei a mesma resposta utilizando a idéia do Iuri e do Nehab, acho que teve algum errinho de conta ali mesmo.

e mais uma vez, muito obrigado!

Abraços,
J.Renan

Em 28/10/06, Marcelo Salhab Brogliato < k4ss@uol.com.br> escreveu:

Olá,

a raiz dupla tambem eh raiz da derivada do polinomio, entao:

x^2 + 6x - 2 = 0 .... raizes: [ -6 +- raiz(36 + 8) ] / 2 = [ -6 +- 2sqrt(11) ] / 2 = -3 +- sqrt(11)

bom, 3 < sqrt(11) < 4 ... logo, a raiz sqrt(11) - 3 está em ]0, 1[...

substituindo no polinomio original, temos:

[ 11sqrt(11) + 3*9*sqrt(11) - 3*3*11 - 27 ] + 3 [11 - 6sqrt(11) + 9] - 2 [sqrt(11) - 3] + d = 0

18sqrt(11) - 60 + d = 0

d = 60 - 18sqrt(11)

da uma conferida nas contas, já que nao bateu com sua resposta...

abraços,

Salhab

----- Original Message -----

From: J. Renan

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, October 27, 2006 11:13 PM

Subject: [obm-l] Raízes duplas em intervalos

Olá amigos da lista,

Queria pedir ajuda na seguinte questão:

Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ?

Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?

Resolução

x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)
Onde a e b são as raízes
x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b

Isso resulta em

b+2a = -3 -> b = -3 - 2a        (I)
2ab+a^2 = -2                       (II)
d = - a^2b                            (III)

Substituindo b (I) em (II)

2a(-3-2a) + a^2 = -2

para a pertencente a ]0,1[
a = (SQRT(15)-3)/3

b = (-3 -2*sqrt(15))/3

e d = - a^2b
logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9

Agradeço antecipadamente pela ajuda.

J.Renan

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