Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e
> talvez seja mesmo):
> 
> Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho
que a demonstração não deve ser tão simples assim. 

Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido.
Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável.
Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum
subintervalo cujo fecho inclua 0.

Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade
nem sempre implica localmente Lipschitz.

A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas.
Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua)
ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert,
respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços
o problema análogo é fácil.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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