Re: [obm-l] ObmU 2006 - Questao 5

[Ronaldo Luiz Alonso <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

Igor Castro wrote:
> Necessária, mas é suficiente?
   Boa pergunta, provavelmente não, mas isso aparentemente
   não interfere na solução. O que eu acho que pode estar errado
são algumas conclusões:

    A sequência de argumentação é
      série com termo 1/f(n) converge, ==>
     1/f(n) < 1/n para todo n  ==>
     f(n) > n  ==>
    f^{-1}[f(n)] > f^{-1}(n) ==>
     n  > f^{-1}(n)   ==> (dividindo por n^2)
     1/n > f^{-1}(n)/n^2  ==>
   Série com termo  f^{-1}(n)/n^2  converge o caminho pode
ser revertido evidentemente.

    O que pode estar errado nas linhas acima?
     Fiquei pensando nisso depois que resolvi. 
    Vc pode dizer que se a série com termo 1/f(n) converge, então
     1/f(n) < 1/n para todo n ?
    Outra coisa:     

f(n) > n  ==>     f^{-1}[f(n)] > f^{-1}(n)  

Não seria

f(n) > n  ==>     f^{-1}[f(n)] < f^{-1}(n)  

Já que f^{-1} é descrescente porque f é crescente?
  Acho que alguém deve ter resolvido diferente. 
Daí podemos achar um possível erro na minha solução.
Abraço.


>  
> On 10/31/06, *Ronaldo Luiz Alonso* <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com 
> <mailto:ronaldo.luiz.alonso@gmail.com>> wrote:
>
>     Igor Castro wrote:
>     > Alguem poderia mostrar como fez essa questao????
>     > O link pra prova é:
>     > http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf
>     Eu começaria notando que 1/f(n) < 1/n é uma condição necessária para a
>     convergência e
>     que f^(-1)/n^2 < 1/n também (pelo teste da comparação)
>
>        Assim se a primeira série converge f(n) > n e se a segunda série
>     converge f^(-1)(n)/n < 1 ==>
>                    f^(-1)(n) < n.  ==>  (aplicando f dos dois lados)
>                     n < f(n)  (porque f é crescente).
>
>     Então se a primeira converge a segunda converge e vice versa.
>
>       Será que eu esqueci alguma coisa???
>
>     Abraço
>     Ronaldo.
>     =========================================================================
>
>     Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>     http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>     <http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html>
>     =========================================================================
>
>
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================