Oi, Artur:
Se eu entendi direito o enunciado, para cada x em X, existe r_x em
(0,+inf) tal que B(x,r_x) inter X = {x}.
Isso nos permite definir (via axioma da escolha) uma função f:X ->
(0,+inf) tal que f(x) = r_x.
Suponha que, para cada n em N, f^(-1)( (1/n,+inf) ) seja
enumerável.
Nesse caso, Y = União(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) será um subconjunto
enumerável de X, já que é a reunião enumerável de conjuntos enumeráveis.
No entanto, Y = União(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) =
f^(-1)( União(n em N) (1/n,+inf) ) =
f^(-1)( (0,+inf) ) = X ==>
X é enumerável ==> contradição.
Logo, vai existir p em N tal que f^(-1)( (1/p,+inf) ) é não
enumerável.
Tomemos A = f^(-1)( (1/p,+inf) ) e eps = 1/p.
Então A é um subconjunto não-enumerável de X tal que, para cada
x em A,
B(x,eps) inter A = {x}.
O que você acha?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 20 Oct 2006
13:23:49 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Métrica que
induz a topologia discreta |
> Gostaria de comentários a respeito da
demonstração apresentada a seguir:
>
> Afirmação:
>
> Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma
métrica definida em X que induza a topologia discreta. (A
topologia discreta é aquela em que conjuntos formados por um único
elementos são abertos, o que equivale a dizer que nenhum elemento de X é ponto
de acumulação de X - daí o nome discreta). Então, para algum eps>0,
existe um subconjunto não enumerável A tal que d(x1,x2) >= eps
para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso trivial é quando d é
a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se x1<>x2, e
d(x1,x2) =0, se x1= x2. A métrica citada no enunciado não tem que
ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse, nada teríamos a
demonstrar.)
>
> Demonstração.
>
> Como o conjunto {x} é aberto qualquer que
seja x de X, para cada x existe r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo
B(x, r_x) a bola aberta de centro em x e raio r_x. Para cada inteiro positivo
n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o
conjunto não-enumerável {r_x} e é dado pela uniao enumeravel dos
A_n, segue-se que nao é possível que todos os A_n contenham uma
quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x} seria enumerável).
Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel. Se agora definirmos
eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m}, então d(x1, x2) >=
1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é enumerável pois é
equivalente ao naoo enumerável A_m inter {r_x}.
>
> Eu achei que estava certo, mas acho que passei por
cima de um detalhe, qual seja, o de que {r_x} não é enumerável. Na
realidade, a cada x podemos associar valores de r_x pertencentes a um
intervalo aberto do tipo (0, b), b finito. Mas isso garante que podemos
estabelecer uma bijecao entre X e um conjunto de raios r_x? Estou na
dúvida.
>
> Abraços
> Artur