[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração (Correcao)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Errei uma fatoracao boba...

Segue abaixo a solucao corigida.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 23 Oct 2006 10:58:04 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

> ---------- Cabeçalho original -----------
> 
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
> Assunto: [obm-l] Demonstração
> 
> >     Bom dia a todos!
> > 
> >     Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
> n^3 ou...
> > 
 
Para p = 2, 3 e 5 o resultado eh obvio, pois: 
2^2 + 3^2 = 13 = 13^1, 
2^3 + 3^3 = 35 = 35^1, 
2^5 + 3^5 = 375 = 375^1

Assim, suponhamos que p > 5 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum k >= 2.
 
Como p eh impar, existe a fatoracao:
>n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1)) ==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) ==>
 
como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
(usando 3 == -2 mod 5)
2^(p-1) - 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 - ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 + 1 + 1 + ... + 1) = 2^(p-1)*p == 0 (mod 5) ==>
contradicao, pois 5 nao divide 2 nem p (suposto > 5)

Logo, k nao pode ser >= 2.
 
[]s,
Claudio.
 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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