Eu ja enviei isso, sob o título "métrica que induz a topologia discreta" Reeviei agora com outro nome mais palatavel pra ver se alguem me dah uma ajuda, risos. Eu de fato gostaria de comentários a respeito da demonstração apresentada a seguir:
Afirmação:
Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma métrica definida em X que induza a topologia discreta. (A topologia discreta é aquela em que conjuntos formados por um único elementos são abertos, o que equivale a dizer que nenhum elemento de X é ponto de acumulação de X - daí o nome discreta). Então, para algum eps>0, existe um subconjunto não enumerável A tal que d(x1,x2) >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso trivial é quando d é a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se x1<>x2, e d(x1,x2) =0, se x1= x2. A métrica citada no enunciado não tem que ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse, nada teríamos a demonstrar.)
Demonstração.
Como o conjunto {x} é aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto não-enumerável {r_x} e é dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao é possível que todos os A_n contenham uma quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x} seria enumerável). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel. Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m}, então d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é enumerável pois é equivalente ao naoo enumerável A_m inter {r_x}.
Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual seja, o de que {r_x} não é enumerável. Na realidade, a cada x podemos associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um conjunto de raios r_x? Estou na dúvida.
Abraços
Artur