Eu ja enviei isso, sob o t�tulo "m�trica que induz a topologia discreta" Reeviei agora com outro nome mais palatavel pra ver se alguem me dah uma ajuda, risos. Eu de fato gostaria de coment�rios a respeito da demonstra��o apresentada a seguir:
Afirma��o:
Seja X um conjunto n�o enumer�vel e seja d uma m�trica definida em X que induza a topologia discreta. (A topologia discreta � aquela em que conjuntos formados por um �nico elementos s�o abertos, o que equivale a dizer que nenhum elemento de X � ponto de acumula��o de X - da� o nome discreta). Ent�o, para algum eps>0, existe um subconjunto n�o enumer�vel A tal que d(x1,x2) >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso trivial � quando d � a chamada m�trica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se x1<>x2, e d(x1,x2) =0, se x1= x2. A m�trica citada no enunciado n�o tem que ser um m�ltiplo positivo da m�trica discreta. Se fosse, nada ter�amos a demonstrar.)
Demonstra��o.
Como o conjunto {x} � aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto n�o-enumer�vel {r_x} e � dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao � poss�vel que todos os A_n contenham uma quantidade apenas enumer�vel de n�meros r_x (ou {r_x} seria enumer�vel). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao � enumeravel. Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m}, ent�o d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo � enumer�vel pois � equivalente ao naoo enumer�vel A_m inter {r_x}.
Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual seja, o de que {r_x} n�o � enumer�vel. Na realidade, a cada x podemos associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um conjunto de raios r_x? Estou na d�vida.
Abra�os
Artur