Somas de Secantes - Era:[obm-l] putnam 2002

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Esse problema da Putnam me deu uma id�ia, que proponho aqui como um problema (certamente n�o � in�dito, mas procurei no Lidski, no Krechmar e no Fadeev-Sominski e n�o achei):

 

Expanda 1/(x^(2m+1) - 1) em fra��es parciais (m inteiro positivo) e, a partir desta expans�o, calcule o valor da soma:

SOMA(k=1...m) sec(2*k*pi/(2m+1))

 

Observa��o: faz diferen�a se m � par ou �mpar.

 

Desafio: Calcule tamb�m o valor de:

SOMA(k=1...m) sec^2(2*k*pi/(2m+1))

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Thu, 19 Oct 2006 12:00:48 +0100

Assunto:

[obm-l] putnam 2002

> Alguem poderia me ajudar com a quest�o abaixo,

> ela n�o parece dif�cil, acho que n�o estou manipulando as coisas como deveriam ser para isolar o que preciso,

> abra�os,

>  

> Jhonata

>  

>  

>  

> k and n are positive integers. Let f(x) = 1/(x^k - 1). Let p(x) = (x^k - 1)ⁿ⁺¹ fⁿ(x), where fⁿ is the nth derivative. Find p(1)